CHAPITRE II. — THEOREMES SUR LA CONVERGENCE

et celte quantité croît indéfiniment avec « (*) : il y a donc incertitude sur la nature de la série. Mais

nlnlln.u,,-

n In Un

(*+sr PK)'»

"n-H /(n-H ) M(n+1) donc lim nlnltn.u„— 1 :

la série est divergente (**).

5° Elle l’est, à plus forte raison, si a. est négatif.

Autres règles de convergence.

54. Les règles précédentes deviennent peu commodes lorsque le ferme général, u„, est un produit dans lequel le nombre des facteurs croît indéfiniment avec n. Quand cette circonstance se présente, on peut recourir à de nouvelles règles (***), qui résultent des propositions suivantes.

5o. Lemme I. Les séries

sont convergentes si k est positif, divergentes si k est nul ou négatif (29).

(•) En effet, si l'on pose n+l=e«, on trouve

nu„.n*=

les trois premiers facteurs ont pour limite l’unité, lequalrième devient iniini avec z; etc.

(’*) L'incertitude ne cesserait pas si l’on appliquait la deuxième condition nécessaire et la deuxième condition suffisante (Théor. XIII); c’est pourquoi nous avons cherché immédiatement la limite de nlnlln.u„.

(’”) Ces nouvelles règles ne diffèrent pas, au fond, de celles qui ont élé données, soit par M. Bertrand [Journal de Liouville, t. VII), soit par M. Pancker ( Journal de Crelle, l. XUl>.

JW». I.emhe H. Les quantités

dans lesquelles k est supposé compris entre 0 et 1, tendent vers ( — k), lorsque n croît indéfiniment.

On tire de là

puis

tfPT n.

et enfin 2°

Soit

d’où

Uni A= — k.

<(«+i)=p'(i+ii) ;

(•) Pour abréger, nous admettons les deux inégalités

lL , *1*— *) , 1

(I— (I— 3)*>1— fa-t- - --- (l " — a)»— * »

dont la démonstration est facile.

(••) Celle transformalion est admissible; car à toute valeur de n correspond une valeur de fi. En outre, ces deux quantités deviennent, simultanément, nulles et infinies.