CHAPITRE n. — THÉORÈMES SDR LA CONVERGENCE

puis

Kb)“ [&)-*]•

et enfin (*)

lim B = — k.

Soit

d’où

Soit encore

d’où

l[n+2)=pl(l+~).

Ces valeurs donnent

puis lim C = — k ;

etc. (**).

57. TnÉOHÉME XIV. Une série composée de termes positifs est convergente ou divergente, suivant que la première des quantités

lim [( n +l)~rp — n |>

Hm [ (n+1) /(n+l)//(n+l)^ —nlnlln]

qui n'esl pas nulle, est négative ou positive.

Supposons, pour Gxer les idées, que l’on ait constamment, à partir d’une certaine valeur de n,

(•) A cause de — — ] * +l = e.

(*■) Il ne serait pas difficile, au moyen d’un raisonnement connu, de faire voir que la proposition énoncée est générale.

y étant positif. D’après la relation

démontrée ci-dessus, on peut toujours assigner une valeur positive de k, inférieure à y, telle que l’on ait, à partir de la môme valeur de n,

ou ?î±!<[JÜ' + ‘.

Mais, s’il en est ainsi, les termes de la série proposée décroissent plus rapidement que ceux de la série convergente

donc la première série est convergente.

La même démonstration est évidemment applicable à tous les cas (*).