II. La série

limr t ——k (*);

(t+tga) (i+tgj)...

...(l+fg-)

dans laquelle n est un arc positif, moindre que - , est convergente ou divergente, suivant que cet arc surpasse ou ne surpasse pas f unité.

1° On a

I— n;tg

fH-l

n fl n-H o

donc

1+tg^ I+tg^

lim r, = 1 — a.

Si a surpasse l’unité, cette limite est négative, et la série est convergente.

2° Si a=l, lim r ,==<). Mais, dans ce cas,

La limite du dénominateur étant l’unité, il suffit de considérer le numérateur. Or, à cause de

on a

tgo:>a:, tg«< — r— (**).

Sans qu’il soit besoin d’aller plus loin, on voit que lim [l— n tg f(n+l)= O ;

(*) Pour simplifier le calcul, nous modifions la règle, de la manière indiquée ci-dessus (37, note).

(**) La seconde inégalité esl une conséquence des relations sinK^a:, cos x > I— i x*.