III. Discuter la série

(o-K)(2a-K) (n^la-j-c) (a'-K') (2a'-Hc') (n— I a'-t-c') |

(6-t-c)(26+c) (ïT^ÎM-c) {b'+c’){îb'-hc‘).....(n^i V-t-s')

u B+t na-Hî na'-K’ . (aa'~ 6 6 >*+(ac'-4-ca— 6c— c6>

u n m 6— f-c * 66'nM-{6c4--c6')n-H:c'

2° Si ad — bb' est différent de zéro,

a a' — 66' lim r 0 = rr, •

Suivant 'que cette quantité est négative ou positive, la série est convergente ou divergente.

3° Si aa'—bb', lim r 0 =ü, en sorte qu’il y a doute. Mais, dans ce cas, '

(ac’-+-ca' — 6e' — c6’+ 66')n , -Kac'-Ka , )w-+-cc'

66'n 9 -f- (6c'-hc6) n-\-cc'

. . . ac'-l- ca • — 6c' — c6'-|-66'

puis ltmr t = jjp .

A" On peut toujours supposer b et b' positifs. Dès lors, la série est convergente ou divergente, suivant que l’on a

ac'-\-cd — bc — cb' + bb' > 0.

5" Si ac'+cd — bc — cb'-+-bb'=Q,

il y a doute. Mais, évidemment, /tm[r 1 /(n+l)]=0; donc

lim r,= i :

la série est divergente.

Dea séries à terme* croissants et décroissant*.

40. Jusqu’à présent, nous avons supposé que les termes de la série proposée décroissaient indéfiniment, du moins à partir de l’un d’eux; et nous avons indiqué diverses règles au moyen desquelles on peut, dans tous les cas, reconnaître la convergence ou la divergence. Mais il

peut arriver que le terme général u n , tout en ayant pour limite zéro, soit exprimé par une fonction de n tantôt croissante et tantôt décrois santé (*). Il paraît très-difficile de trouver des règles simples, relatives à ce cas singulier. Nous nous contenterons d’énoncer la proposition suivante, analogue au Théorème IX :