I-ul i± + 1 +±l±.i-l+-J J L

que nous pouvons réduire à

9i — gt + 9s—9k + ±ÿi +

en posant

Par conséquent, la série est convergente (**).

45. Remarque. Une série à termes alternativement positifs et négatifs, et dont le terme général a pour limite zéro, peut être divergente. Pour justifier cette proposition, il sufGtde considérer la série

Vi — î ✓a+i

{‘) On verra plus loin que celle série a pour somme — — I.

(*•) Elle a pour somme j+

Effectivement, la somme des 2 n premiers termes est

donc la série est divergente (*).

De» séries imaginaires.

44. Définition. Une série dont le terme général a la forme <x n -hfi n V — 1 est dite convergente, lorsque les deux séries

Pt +J3j 4- (3 9 + +(3„+

sont convergentes.

On voit que les conditions de convergence d’une série imaginaire donnée se ramènent immédiatement aux conditions de convergence de deux séries réelles. La proposition suivante réduit très-souvent l’examen de la série proposée à celui d’wne seule série réelle.

4o. Théokème XVI. Une série imaginaire est convergente , si la série formée par les modules de ses termes est convergente.

Si l’on met le terme général, a n -4- (3„ V— 1 , sous la forme

Pu (cos «n+K — 1 sin <ü„),

p u étant le module de u„, les trois séries réelles dont il s’agit seront

p, COS tù 1 -j-pj COS ta j— -4-p„ cos “«“H

pi sin Wj-I- p a *sin m, -|- p„sin

Pi +pt -+- 4 -p„

(*) Cette série appartient bien à la classe que nous venons d’examiner; car, évidemment.

V/»,— t V/n -et '

et

D'ailleurs, pour réduire à la même forme les termes de rang pair et les termes de rang impair, il suffit de prendre

cos (in-l)u

cos W* -h cos n*