CHAPITRE II. — THÉORÈMES SUR LA CONVERGENCE

Or, si cette dernière série, dont tous les termes sont positifs, est convergente, les deux autres le seront pareillement (Théor. IV).

46 . Remarques. I. Si le module p„ n’a pas pour limite zéro, la série proposée est divergente ou indéterminée.

En effet, à cause de

une, au moins, des quantités a„, fi n n’aurait pas pour limite zéro.

11. Si le module p„ a pour limite zéro, et que cependant la série des modules soit divergente , la série proposée peut être convergente. Par exemple, la série

J(i /z i)+ï(-i)+lK :: i)+S+5(/-i)+jH)+

dont le terme général a pour valeur

li nu , ,/ — 7- . «ni

~[cos T -fV— 1 sm T J,

est convergente, bien que la série des modules

soit divergente (*).

47. Lemme (Théorème d’Abel). Soient u, , u,, , u„ des quantités

réelles, positives ou négatives. Soient e lt e t n des quantités

positives, décroissantes. Si, pour toutes les valeurs de n inférieures à une certaine limite, on a

on aura aussi

e,A< Uj + -+-e„u n <c,B.

(•) A cause de

et de

la série proposée a pour somme

Démonstration. Posons, pour abréger,

*„=!<,+«,+ +u„, S„=e 1 u 1 + e,Uj-f- +

Nous aurons

M t— * 1 » tii—Sj s,, u,— s, s,, u n — s n —

et, par conséquent,

Mais, les différences s, — e„, e, — e,, e J( , — e„ étant positives,

on a, d’après l’hypothèse :

Ajoutant toutes ces inégalités membre à membre, et réduisant, on obtient

£ iA<S„<£,B.