CHAPITRE III. — SOMMATION DE QUELQUES SÉRIES. On a donc

ce qui, du reste, est évident.

Par suite,

Si a surpasse l'unité, la fraction

décroit indéfiniment lorsque n augmente (*). Donc, dans ce cas, la série est convergente (*'), et l’on a

S = lim S„ =

59. Remarques. I. Lorsque a surpasse l’unité, la série 1 . 1.2 1.2.3 (n— 1)

a la même limite que la progression

fî+*

(*) Soient a=1-t-«, et

rw=

Il en résulte

Or,

lim »J / 1 -t-

donc 1° la série dont le terme général serait est divergente; î° IP„ croit in

déliniment avec »; a» a pour limite zéro.

(") Les régies données dans le chapitre précédent conduisent au mémo résultat.

II. La seconde série est plus convergente que la première. En eflet, si I on représente par R„, R n leurs restes respectifs, savoir :

ona

60. Problème VI. Trouver la somme des n premiers termes de la série

, (fr+l)(6+2) (6-f -w— 1)

Solution. 1° En opérant comme dans le Problème V, on trouve

a-6— IL (o-(-1) (o+n l)J-

2° Si b est plus petit que a — 1, la série est convergente; donc, dans ce cas,

lim S„=S = — —r