Problème XI. Déterminer

S n = i + 2q + 3 q’+ + nq .

Solution. On a

qS n =q+ 25 ’ 4 - 3 g 3 + -+•(« — i)q"~ t + nq" ;

donc, en retranchant membre à membre (*) :

(1 — q)S„= 14- </ 4- q ‘ + + q"- l —nq n ,

m (l- g )S„=i=^ '-nq";

. et, par conséquent,

c 1 — q n nq n

On déduit de cette valeur, en supposant g *< 1,

S=/mS„ = { — (**).

Ainsi, la somme de la série convergente

1, : >.q , 3 q\ 4ÿ 3 nq'-\

{*) Ce procédé est tout à fait semblable à celui que l’on emploie, en arithmétique, pour

démontrer la formule des progressions p3r quotient : S=~- —

t”) En effet, lorsque q est compris entre — t et ■+■!,

lim q"— 0 et fin» nq*~ 0.

obtenue en multipliant terme à terme les deux progressions

est égale au carré de la somme de la seconde progression (*).

69. Remarque. Si la quantité q , au lieu d’être réelle, a la forme p(cos o) — V — 1 sin eo) , la série considérée devient

l-f-2p(cos — i sinw)+3p 1 (cos2&)+t / — 1 sin2w)+

+ np" -1 (cosn — 1 w+K — lsinn — i u)4-

D’après un théorème démontré (45), cette dernière série est convergente lorsque le module p est inférieur à l’unité. Dans ce cas, la formule (A) devient

ç 1 (1 — pcos <M- pv/^Tsinu)*

[1 — p(cosw-J- voisin»)]* [1 — f coso)'4-f’ sin’w]*

On a donc, en égalant les parties réelles et les parties imaginaires :

I — 2p cos »-J-p* cos 2w . „ , .

~ (1 - 2 P cos o> -h?’)* =1 +2 P cos M +3p cos 2o)+ +np"“ , cos(«— 1 )«+.

2(1 — p cos ta) sin m . „ . „ . ,

(î — 2p cos <■>+?') 1 = 2sm &>H-3p sm2o>4- +np"-’sin(n— 1)«+.

70. PnoBLÈME XII. Déterminer la somme des n premiers termes de la série dont le terme général est

“» = a n (a 1 +aj4- -4-a„).

Solution. De

S|=®i*. S s =a 1 , -ha,(a,-f-a,), S s =a, I -t-a,(a 1 +a,)-4-a,(a 1 -t-a,-t-a,), on conclut

et, en général,

(‘) La formule du bioâme conduit plus rapidement à ce résultat.