Problème XIII. Sommer la série

l'indice a étant quelconque, mais constant.

Solution. A la somme S„ des n premiers termes, ajoutons la quantité

+ a *-wi-i( a n+i+ + a a+n .) (***);

nous aurons, en multipliant par 2,

f) Nous les démonlrerous plus loin.

(“) Ce résultat, et beaucoup d’autres du même genre, sont dus à Euler et à Goldbach. Voir la Correspondance de ecb deux géomètres, publiée par M. Fuss.

(•••) Si «=t, C,=0.

CHAPITRE III. — SOMMATION DE QUELQUES SÉRIES. 47 d’où, en conservant les notations employées dans le Problème XII , aS^lWr- B.-.+ (W- (A a 1 )‘+2C„-. (H)

73. Application. Soit a n =q n ~', auquel cas la série devient

Nous aurons

C n =9»- , (9+9 , + +9*-‘)-t-î 1 (9 ! +g 3 + +î*)+ 4-ÇI+M-2)

Donc

ga.-a ( i— qr^-r-aj '1-

ou, en simpliGant,

9—* (1— 9")(1 — 9«+‘) 1 îa-wn-2

Cette formule donne

/ifnS„ = S:

ainsi qu’on peut le vérifier directement.