Théorème XX

S„ > F(a+n- 1)- F(«)+î [/(«)+ /Ia+ n-1)] .

Démonstration. i° Soit ABC NP le lieu de l’équation u= f{x).

Soient

AA'=u 1 =/(o), BB'=u,=/(a-4-l) PP'=u„=/(a+n~l).

Si, comme on le fait dans la méthode des trapèzes (*), on mène les cordes AB, BC, NP, on aura

5(u,+*.)>F(fl + l) — F(«),

Donc S M >F(a+n— 1)— F(a)+|(u 1 +u n ),

ou S w >F(a4-»»-l)— F(a)+|[fla)+rta+»-l)].

2° Conformément à la méthode de M. Poncelet, menons les tangentes aux points B, C, D, N. Prolongeons la première jus-

qu’aux ordonnées passant par les milieux de A'B' et de B'C' ; prolongeons la deuxième tangente jusqu’à cette deuxième ordonnée et

(*) Manuel des candidats à l'École polytechnique, t. II, p. 393.

jusqu’à celle qui passe au milieu de C D', etc. En faisant la somme des trapèzes ainsi déterminés, nous aurons

ou S„< F (a+«— — F (a+ 5) +f(a)+f(a+n—i).