CHAPITRE IV. — SOMMATION DES SÉRIES

Démonstration. Représentons par < p(ft) le premier membre; nous aurons

Par de simples considérations géométriques, ou par les premières notions sur les dérivées, on trouve

f(x+h)=f(x)-\- hf'(x+ Bh), r (x h) =f[x) hf{x — 5 , A) (•);

6, 9, étant des quantités comprises entre O et 1. Conséquemment

? >(h)=hir(x-S,h)-r(x+6h));

ou, d’après l’une des hypothèses précédentes,

La fonction y(h) est donc croissante. D’ailleurs, elle s’annule avec h; donc, etc.

83. Corollaire I. Les points A, B, C ayant pour abscisses x — h, x, x+h, l’angle aigu formé par la tangente TBS et par l’aie O® est plus petit que l’angle aigu formé par cet aie et par la corde AC.

En effet, l’inégalité précédente équivaut à

-r(x)< fix - h) - nx+h \

84. Corollaire 11. Si, par les points A, B, C, on fait passer une parabole dont l’aie soit parallèle à Oy, la partie de cette courbe située

(*) Chacune de ces inégalités exprime ce Tait géométrique : La droite qui joint Ut extrémités d’un arc de courbe est parallèle à la tasigente en un certain point de cet arc.

5î TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE DES SÉRIES.

entre A et B sera au-dessus de AB, et l’arc de la même courbe, situé entre B et C, sera au-dessous de BC (').