CHAPITRE IV. — SOMMATION DES SÉRIES

et, à plus forte raison, inférieure à

87. Résumé des théorèmes précédents. S„ représentant la somme des n premiers termes de la série

et F(x) étant la fonction primitive de la fonction f(x), laquelle est supposée positive et indéfiniment décroissante, on a :

Sn<F(a+n)—¥(a)+f(a)—f(a+n);

Sn<F(a+n-l)-F(a)4-|[Ao)4-A«+"-l)]-ifA<»)-/’(«+«-l)]i 4«S»>F(a+ n -t)-F(a4-IH-A«H-^/o+t)- 1 V(«+2)+^Aa+»-l)-+-^/Ia+n) ) ' S«<F(a4-n— Ij— F(a+l)-(-^A'a)4- 1 ; 2 A«+I)— jV(«+n— 2)4-^Aa+«— I).

Application*.

88. I. Évaluer la somme des 1000 premiers termes de la série harmonique.

On a, à moins d’une unité du septième ordre,

(•) En effet, la courbe ÀBC...NP (79) étant convexe vers l’axe des abscisses, on a

.Wn-

ou u.-i— 2u«-t-u«+i>0.

On peut remarquer, en outre, que £ représente le douzième de l'aire du parallélogramme déterminé par les ordonnées AA', CC', la corde AC et la parallèle à cette corde menée par le point B.

Ajoutons enfin que, les formules précédentes pouvant être variées de bien des manières, nous avons essayé de les présenter sous la forme la plus simple possible.

('•) Comptes rendus de l'Académie des sciences, séance du 32 septembre 1856.

Cela posé :

1° Les formules (B) donnent :

s 1()00 >fiooi,

S,ooo>6, 9077553,

2° Les formules (C) :

s 1000 >nooo+ii,ooi,

3° Les formules (D) :

S,„«o> 7.40825528, S li00 < 7,408 255 28+|[l — «ôêôJ*

4° Les formules (E) :