CHAPITRE IV. — SOMMATION DES SÉRIES

s >>Pïfcfe-

(<H-n — 1JP~ 1

\ i t r i \ i l rj (a+n-I)i’->J + 2Lo!> + (a+n-l)P.r8 P LaP+ 1 '

|+ifc+

etc. Ces formules peuvent servir à calculer, avec une approximation plus ou moins grande, soit les sommes des puissances semblables négatives d'un certain nombre de termes appartenant à la suite naturelle, soit les limites vers lesquelles tendent ces sommes. Par exemple, les formules (D) donnent

95. Remarques. I. On voit que la somme des cubes des inverses des

nombres naturels est comprise entre 1 et — . Par d’autres méthodes on trouve, pour valeur de cette somme, le nombre 1,202 056 (*).

II. Si, dans les formules du numéro précédent, on changeait p en — p, on pourrait les faire servir, moyennant certaines modifications (**), au calcul de la somme des puissances semblables et positives des nombres naturels (***). Il est vrai que les résultats seraient généralement peu approchés.

Digression sur les séries divergentes.

96. Nous avons fait voir, dans le chapitre II (9), que la somme d'un nombre indéfiniment grand de termes consécutifs, appartenant à me série divergente, peut, dans certains cas, avoir pour limite zéro. A plus forte raison, cette somme peut tendre vers une limite finie, s’il existe, entre le nombre n de ces termes et le rang a du premier

(*) Lacroix, t. III, p. lia.

(**) Par exemple, dans la formule (A) ou devrait changer > en <.

(•••j Voyez, sur ce su jet, les Nouvelles Annales de Mathématiques, t. YX, p. 230.

d’entre eux, une relation convenablement choisie. Le Théorème XIX entraîne, en effet, la proposition suivante :

97. Théorèmk XXIII. Si le nombre entier n est une fonction donnée du nombre entier a, qui devienne infinie en même temps que a, et si la différence F(a-f-n) — F(a) tend vers une limite X lorsque a croit indéfiniment, on a

lim [f(a) + fia -F- 1)+ +/(<!+ n — 1)]= X.