DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

100. Etant donnée une fonction d’une ou de plusieurs variables,

f(x, y, z, ), on peut se proposer de la développer en série, ou de

trouver une série convergente

qui ait pour limite f[x, y, z, ). Par exemple, le développement de

ordonné suivant les puissances entières et positives de x, est

en effet, lorsque cette série est convergente, elle a pour limite

101. Remarque. Une même fonction peut admettre plusieurs développements (*) : la fonction — - , égale à

est développable aussi suivant la série

, ® , i.S.as* t.2.3.t»*

lorsque x est positif et plus petit que 1 (**).

102. Parmi les développements dont une fonction est susceptible, celui qui procède suivant les puissances entières et positives d’une variable, étant ordinairement le plus simple (***), est aussi celui que

(*) Et même une infinité de développements.

(■*) Ceci résulte de ce que l’on a vu ci-dessus (S9, I).

(**') Il est essentiel d’observer qu’une fonction d'une variable x n’est pas toujours développable suivant les puissances entières et positives de x. Par exemple, on ne saurait avoir logx= A-t-Bx-f-Cx’-t-Dx’-t-

A, B, C, D, étant des constantes. En effet, cette équation se réduirait, pour x=0, à