CHAPITRE V.~ DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

l’on cherche presque toujours, de préférence à tous les autres. Les propositions suivantes servent à résoudre les questions les plus importantes, relatives à ce genre de développement.

Théorème de Taylor.

105. On sait que, f[x ) étant une fonction entière, du degré m, on a, quel que soit l’accroissement h ,

nx+h)=f(x)+±r(x)+£ ï r(x)+ , +T J^—r( X ).

Lorsque f{x) est une fonction quelconque, cette relation doit être modifiée ainsi qu’il suit :

104. Théorème XXIV (Théorème de Taylor). Si f n ' HI (z) reste finie et continue pour toutes les valeurs de z comprises entre x et x+h, on a

fl x+ h)=f[x)+- { f ( x ) +nf (*)+■

p étant un nombre pris arbitrairement entre 0 et n, et 9 étant un nombre inconnu, compris entre 0 et 1.

Démonstration. Représentons par R le reste que l’on obtient en retranchant de f[x+h) la somme des n+1 premiers termes du second membre : il s’agit de prouver que

En remplaçant® par a — h, on a d’abord

R = f[a)-f[a-h)-\f(ar-K)-^r^)-- ( 3 )

(•) Cette forme du reste, qui comprend les deux formes ordinaires

AM-l

-/‘«H-qæ-t-to), R=

fcn+1(t — 6

a été donnée par M. Édouard Roche ( Journal de Liouville, t. XXIII, p. 271). Elle est comprise elle-même dans une expression très-générale, due à M. Schlémilch, que nous ferons connaître.

d’où, en prenant la dérivée par rapport à h :

£/>-*)+■ + rê^r( a - h ï + ï£^r +, i«-v

c’est-à-dire

D’un autre côté, l’égalité (3) donne

Conséquemment, il s’agit de déterminer la fonction <p(A), s’il est possible, par la connaissance de sa dérivée et par la condition (5). A cet effet, nous démontrerons d’abord la proposition suivante (*).

103. Lemhe. Si les fondions tp(x), <f(x), <{.(*), <|/(«) restent finies et continues depuis x = a jusqu'à x=b, et que la fonction i|/(x) ne s’annule pas dans cet intervalle, on a

ip(b)—tf(aj *'[«+i(6— a)]

c étant un nombre inconnu, compris entre 0 et 1.

Démonstration. Soit la fonction

d’après les hypothèses précédentes, elle est continue, aussi bien que sa dérivée, depuis x = a jusqu’à x = b. Or,

F(o)= ?(&) <K<0 — 'î'(^) ?(°), F ( 6 )=— ?(a)#)+«Ka)9(6)=F(a).

Par conséquent, F'(as) s’annule au moins une fois, entre x = a et x=b; ou, ce qui est équivalent, l’équation F'(a;)=0 a au moins une racine comprise entre a et b. C’est précisément ce qu’exprime la relation (6) : cette relation est donc démontrée.