En effet, les équations (3), (4), (5) donnent

ou, en remettant x au lieu de a — h,

ce qui est précisément l’équation (2).

108. Remarques. I. Si le reste R tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment, on a

fl*+»)=A*)+îr(*H-o/>)+ + r5rb/‘<*)+ W

II. Pour que cette égalité ait lieu, ou que f[x-\-h) soit développable suivant la série de Taylor, la valeur attribuée à a; ne doit rendre infinie ni f[x) ni aucune de ses dérivées. En môme temps, l’accroissement h doit être suffisamment petit.

III. Si, dans la formule (2), on suppose, successivement, p=n, p—0, on obtient

f"+‘(x+Qh), Oh).

Ces deux formes du reste sont très-fréquemment employées.

IV. Au lieu de supposer la fonction égale à laissons-la complètement arbitraire; nous aurons, par les équations (7), (4), (5),

'vW— w'l.2 fl

ou

W—HQ) (i-*)»*.

f[l— 9)Al 1.2 n

f n +'{x+Sh).

Dans cette expression très-générale du reste de la série de Taylor (*) , la fonction arbitraire <{<(i) est assujettie seulement à ces deux conditions : 1° elle doit rester finie et continue depuis a;=0 jusqu’à x— h; 2° sa dérivée <j/'(x) doit, dans le même intervalle, rester finie, continue et différente de zéro.

Sàrie de Mao-Laurin.

109. Théorème XXV. Une fonction quelconque est développable suivant la série de Mac-Laurin :

f[x)=no)+ x ~r (o) + (o) + +~y~ n n °)+ (b)

si la quantité

tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment.

Démonstration. En supposant a:=0 dans la formule de Taylor, et remplaçant ensuite la lettre h par la lettre x, on obtient

f[*)=m+- i m+y\°)+ w-eSm

etc.

110. Remarques. I. L’énoncé et la démonstration du dernier théorème supposent que f[x) et toutes ses dérivées restent finies et continues pour x=0. Si le contraire arrivait, on remplacerait la formule (4) par celle-ci :

m=f{a)+^f(a)-^=fr(a)+.

que l’on obtient en changeant x en a et h en x — a dans la série de Taylor.

(*) Due à M. SchISmilch.