CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

II. La série de Mac- Laurin, supposée convergenle, peut n'avoir pas pour limite f(x). Pour le faire voir, prenons

(f[x) étant une fonction qui reste finie et continue, ainsi que ses dérivées, pour x=0. Il est facile de reconnaître que la fonction expo-

nentielle e 1 et toutes ses dérivées s’annulent avec x. Si donc l’on appliquait la formule (4) au développement de f[x), on trouverait

OU

ce qui est absurde.

Applioatîons dea théorie* précédente!.

111. Formule du binôme. 1° Si l’on suppose f{x)~(i+x) m , la série de Mac-Laurin devient

Elle est convergente lorsque X est compris entre -fl et — 1 (15, III); mais, afin de savoir si elle a pour limite (1— |— £c) m , il est essentiel de former l’expression du reste. Or, la formule (10) donne

^«(m— 1) (m— i+t) (i+l— m)x (n-în)cc^ i