i ’ X X i-t-I ‘ ï+2 ’n-t-l X (1 -1- esc)"-!- 1 — m

t étant le nombre entier immédiatement supérieur à m.

Cela posé, si x est positif et moindre que l’unité, le produit

«4-1 ' t+2 ' fM-t " ’

dont tous les facteurs sont inférieurs à a:, a pour limite zéro. En même temps,

lim

(i+ex)»+* lim R=0,

donc et

(i+*r=i+=»+^=!V + . + «^^î±!l af -+ (C)

2“ Soit f[a ?)=(l — x) m . Alors

Mais, à cause du facteur qui peut être très-grand, et

même infini, la valeur de R, employée ci-dessus, n’est plus applicable.

Il faut donc recourir à la formule (11). Elle donne

Le premier facteur diminue encore indéfiniment lorsque n croît. De plus, à cause de , le second facteur a pour limite zéro, ou

du moins il reste inférieur à l’unité; donc

lim R=0, et

— »«/.*. A\ «»/« t A \ /.» «Jt \

112 . Développement de e 1 . Si l’on prend f(x}= e x , on a /*(*)=«*» f(x)=e* flO)=l, m=l. fW=h

(*) Nous ne pouvons Indiquer, ni pour la formule dn binôme, ni pour les autres applications des séries de Taylor et de Mac-Laurin, les conséquences très-nombreuses et Irés-inléressanles que l’on en déduit. Nous renvoyons, pour ces détails, soit au .Vanue! des candidats à l'École polytechnique, soit aux Traités de Calcul différentiel.