Développement (le sin x. De f{x)=s'mx on déduit

f(x)=cosx, ri x ) = — sin*. f '{ x )~ — cosx,

P\x)=sinx=f[x), f'[x)=f'{x), ;

puis

fi o)=o, /'(o)=i, r(o)= 0, n o)=— 1, no)=o :

sin X X fTs+T^XTÏÏ'

jp»*— 1 jpî*-H

jpxn-t-i t t

La fraction — , - a pour limite zéro; de plus, cos (Sx) est

compris entre — 1 et +t. Par conséquent,

se 1 a? x*"-'

Sinx X + t.2.5.4.s~ * 1.2.3... (2n—1) + ^ '

quelle que soit la valeur de x.

114. Développement de cosx. On trouve, absolument de la même manière,

cosx=l--+— ^

111». Remarque. Si, dans le développement de e *, on change x en x\f — 1 , on obtient

1 + V=Ï-— — — *—VZZ\—

La partie réelle de cette série est égale au développement de cosx,

et les coefficients de V — I forment le développement de sinx. On exprime ce résultat par V équation symbolique

e x ' t/ -'=z cosx+f^ — 1 sin x,

dont les conséquences sont excessivement nombreuses (*).

116 . Développement de 1(1 + *)- Si, dans la formule de Mac- Laurin, nous supposons f\x)— i(l-j-x), nous aurons

f(x)=~js=( 1+®)', /»=—(!+*)!

fl0)=0, f(0)=l. f(0)=-l,

par conséquent,

avec

à cause de la formule (5).

Nous savons (15) que la série

est convergente lorsque l’on a

et qu'elle est divergente dans tout autre cas. Cela posé :

1° Si la valeur de x est comprise entre 0 et 1 , inclusivement, la

(*) Par exemple , si Pou élève les deux membres à une puissance quelconque n , el qu’ensuile on y remplace x par nx, on obtient

e "*V-t—[cosx-t-V/—î siu*)*, e’^V^—cosnx+i/^i sin nx;

donc

(cosæ+v^— l sina:)"= ;osnx+ v'—l sin nx.

Cette relation constitue la formule de Uoivre.