CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

quantité ne surpasse pas l’unité (*) ; de plus, diminue

indéfiniment. Donc

lim R= 0,

et

2* Si la valeur de x est comprise entre 0 et — 1 , la quantité [j-p-J

n’ayant plus de limite nécessaire, on doit, comme pour le développement de (l+x) m (111, 2°) , recourir à la seconde forme du reste. On obtient ainsi (108, III), après avoir changé x en — x :

ou

À cause de

le second facteur tend vers zéro quand n augmente. Et comme le premier facteur a une valeur finie.

lim R= 0.

Conséquemment,

pour les valeurs de x comprises entre 0 et 1.

117. Remarque. Si, dans les formules (H), (I), on suppose x=i on trouve

et

Ce dernier résultat, qui pourrait servir à prouver la divergence de la série harmonique, montre aussi que l’équation (I) subsiste encore lorsque x=l.

(*) En général, celle fraction tend vers zéro lorsque n augmente.