CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

nité; par conséquent, elle représentera arctgæ si JimR=0. Sous sa forme actuelle, on ne voit pas clairement que le reste R jouisse de cette propriété ; mais, si l’on pose

1 = p cos ^ , 0a:=psinX, et si l’on a égard à la formule de Moivre (115) :

(cosX4-^ — 1 sin A) p = cospX-(-|/ — î sinpX, 05*+' sin(n-(-1)X

on obtient donc

et

lira 15=0, x X* , X" x'

«rctg*= T — 5+-J— T + ±-T.

120. Remarque. On voit, par cet exemple, que la formule de Mac-Éaurin se prête assez difficilement au développement des fonctions algébriques fractionnaires ("). Nous indiquerons bientôt d’autres procédés plus commodes; mais nous appliquerons encore la méthode précédente à une question particulière.

121. Problème. Développer, suivant les puissances entières et positives de s, la fraction

B — ox+x’'

Solution. Cette fraction se décompose (**) en lorsque x est plus petit que 2 (***) :

. Or,

(l-t-f + fî ];

(*) La fonction arc Ig x est transcendant; (nais il est clair que la difficulté signalée ici tient uniquement à ce que la formule en question ne s’applique pas aisément au développement de

(**) Manuel des candidats à C École polytechnique, t. I«, p. S35.

(•*•) En valeur absolue.

et, si x est moindre que 3 :

Conséquemment,