CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

124. Théorème XXVI. Toute fraction rationnelle est développable suivant me série récurrente, dont /’ ordre est égal au degré de

Démonstration. 1* Si l’on décompose ~~ en fractions simples, on

pourra développer chacune d'elles en série convergente (**). D’ailleurs , la somme de plusieurs séries convergentes est encore une série convergente (***) ; donc la fraction proposée est développable en me série convergente de la forme (1) (*“*).

2° Cela posé, de

^=A 0 +A 1 z4-A 1 æ*-I- +A n . i af- l +A H af‘+ (3)

on conclut

puis, en supposant

et en identifiant les deux membres :

pour n>4; etc. (*****).

(“) Il est sous-entendu que la fraction est irréductible; que le degré du dénominateur surpasse celui du numérateur; qu’aucun des deux termes n’est divisible par x; etc.

(*‘) Les fractions de la forme - — — produisent des progressions par quotient; les

autres se développent par la formule du binôme (ltl).

(’**} Pour démontrer rigoureusement cette proposition, il suffirait de considérer les restes des premières séries.

('"*) Tout ceci suppose, bien entendu, que x est compris dans deux limites convenables.

(.....) 0n voit q ue nou$ lra i( 0ns | a 5 é r i e convergente contenue dans le second membre de l’équation (3) comme un véritable polynôme. Pour légitimer complètement cette manière d’agir, on pourrait poser

A 0 -t- A , i+A,xM- 4- A pB+i(x)a:"+ 1 ,

en représentant par pa-t-i (sc) une fonction qui ne devient pas infinie pour r — 0 • re suite du fait de la division de f(x) par F(*j.

125. Théorème XXVII. Réciproquement, toute série récurrente convergente, de la forme (1), a pour limite une fraction rationnelle

St+S*— i. *,£-+- 1

l + +<nx k '

dans laquelle S k représente la somme des k premiers termes de la série. Démonstration. En faisant, dans l’équation (2),

n — k, n — k-+-i, n = fc-f-2, n = k-\-l,

on obtient

A/^iE^'+A* X k .a 1 X+.....-{-A- i X .aiÆ k =0, A k ^d‘ +t +A.k+iX li+l • « 1 *+ -+-A,X*. a k X k = 0,

él k+ tX M -\-A. k+ iXf i+t ~ i .a l X + +A,X l .a k X k =0.

Ces égalités donnent

(S k 4 / + , — S») + (S* +i | )a , x-\- ..... -J- . cc k x k — 0 ;

puis, comme les sommes S &m< S /+ , ont, par hypothèse,

une même limite S :

S*-f- St -|.»,Æ + + S,a k iT t ~ 1

Applications.