CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

Mais, si l’on se proposait d’assigner le terme général de la suite 1, 0, —1, 2, —2, 3, —5. 7, —10, 15,

on serait ramené à la résolution de l'équation irréductible x' — x — 1 = 0.

La question peut donc être regardée comme à peu près insoluble {*).

131 . Problème IV. Développer — ï , suivant les puissances de x.

Solution. Le développement commence par l-t-cos0. D’ailleurs, l’échelle de relation étant

A„ — 2A„, cos8-f- A„ 2 =0, ou

An= A„, 2cos 9 — A,,i,

il en résulte qu’un terme quelconque du développement cherché est égal à la somme des deux termes qui le précèdent, respectivement multipliés par 2cos0 et par ( — 1). D’après les formules de Thomas Simpson, les cosinus des multiples de 9 procèdent précisément suivant cette loi. Donc, à cause de

A 0 = 1 , A,= cos0,

nous aurons

A,=cos20, A,=cos3G, A„=cosn0,

et, par conséquent,

1 ““ x cos 6

; — r — — r= 1 -he cos 0-t-x’cos 20+x 3 cos 3©~H +x ,, cos n9- f- ,

1— 2jcosB-f at* ’

pour les valeurs de x comprises entre — 1 cf -4-1 (exclusivement).

132 . Remarque. Si, dans la dernière formule, on suppose x=cos0, on trouve cette relation assez remarquable :

cos20+cos0cos304-cos , 0cos40-t- -t-cos ,1- ‘0cos(n-t-l)0-I- = — 1 (**).

{*) Cependant, si l'on appelle a, 6, c les trois racines de cette équation, on trouve, par un calcul que nous supprimons :

An——— gu -f* — — — -f- c*.

(") Elle est en défaut lorsque cos6=±i (5S).

133. Problème V. Trouver la fraction génératrice de la série récurrente

dans laquelle

Solution. Cette fraction a la forme (*).

D’ailleurs, si l’on multiplie par t-\-2x — x * les premiers termes de la série, et qu’on identifie le résultat avec a-+-bx-\-cx l -+-dx*, on obtient

Par conséquent, pour des valeurs de x suffisamment petites (*"),

. 1— æ-4-x*— 2 æ , 4-5x‘— llx 5 4-

(*) La série étant régulière à partir de n=i, le numérateur de la fraction génératrice est un polynôme du troisième degré, ou d’un degré inférieur. Si l’échelle de relation n’était applicable qu’à partir de n=p, le degré du numérateur serait p— 1, au plus.

(*’) Cette restriction, sur laquelle un ne saurait trop insister, doit être faite toutes les fois que l’on essaye de développer une fonction en série. Faute d'y avoir égard, on arrive à des résultats du genre de ceux que nous avons indiqués au commencement de ce Traité (i).

Si, par exemple, on supposait x— t dans la dernière équation, on trouverait

1 — 1-4-1 — 2+5— 11+23- 18-t-tO!— =î ,

ce qui est complètement absurde.

Remarquons encore que si, en cherchant le développement d’une fonction o{x), on est conduit à une série qui soit divergente pour toutes les valeurs de x, il en résulte que la forme essayée est impossible. Euler a trouvé , pour le développement de la fonction <p(ir) déterminée par lus deux équations

la série