Problème VI. Reconnaître si une série est récurrente

Solution. Supposons que. dans la série proposée :

A # -f- A,x+ An#" -H ( 1 )

le coefficient A„ soit une fonction donnée de n (*), savoir :

Si la série est récurrente, elle a pour somme une fraction inconnue ® (125). Or.

f(x) y P B, . yv Cj y* G< ,

F(as) (6 — x)' (c — xp ^ î Uj — X) 1 ’

en supposant

F (as) — (x — b) p (x — c) q Si les diverses fractions simples

(6 — x)‘ ’ (c — xp ’

Ci

étaient données, on pourrait les développer par la formule du binôme, et l’on aurait, par exemple.

B, R, r , . i x j (t-fn— 1} x"

(6— xi* 6‘ L 1 '"l b ‘ " r 1.2 n 6*

Mais, par la théorie des combinaisons,

*(i-t-l ) («4-n— 1) (rH-1)(n-+-2) (n-M— 1 )

donc le coefficient de r" , dans V p ■■ B * a pour valeur

6" Jmd i (6— X/’ 1

B, B, »+l B s (ri+t)(fH-2) , K P (n-H)(«+2) (n-t-p— 1) /ox

f ~r j» i.2 "*■ bP 1.2 (p— 1) » W

c’est-à-dire une fonction entière de n, dont le degré ne surpasse pas (P— 0-

D’un autre côté, une fonction entière de n, du degré (p — 1), est toujours décomposable suivant la forme (3), c’est-à-dire que, ip(n)

O Celte manière d’enlendre la question est la seule qui nous paraisse admissible.

étant cette fonction, on peut déterminer les coefficients B,, B,, B p

de manière à avoir, identiquement,

5i i®iü±i-i- , Bp (n-H)(fH-2) (n+p— t) ., ,

6^6* 1 T ^ bf 1.2 (p-1) — ;• V*)

Par suite, pour que la térie (1) soit récurrente, il faut et il suffit que

l'on ait

A n =B6-”H- Cc-"+ +Gg~”,

b, c, g étant des constantes, et B, G, , G étant des fonctions

entières de n (**).