CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES
Recherche du développement d’une fonction, au moyen du développement de la fonction dérivée.
136 . Théorème XXVIII. Si, pour toutes les valeurs de x comprises entre 0 et une quantité positive X (inclusivement) (*), on a
F'(®)=A 1 + A t a; + A > æ'+ A„ic”— ‘ -f- (1)
on aura aussi
pour les mêmes valeurs de x.
Démonstration. La série (1) est supposée convergente, c’est-à-dire que
R n représentant une fonction qui tend vers zéro, lorsque n croît indéfiniment, et que x est compris entre 0 et X.
Si l’on prend les fonctions primitives des deux membres, on aura donc
F(*)=F(0)+A 1 ®+iA,®*+ÎA3* 5 + +lA„®»+?(*,n), (4)
en désignant par <f(x,n) une fonction qui a pour dérivée R„ , et qui s’annule avec x (**).
Cela posé, cette fonction peut être regardée comme représentant l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe qui a pour ordonnée R„, l’axe des ordonnées et une ordonnée quelconque, répondant à une valeur de x inférieure ou égale à X. Or, l’ordonnée R„ a pour limite zéro ; donc ij>(x,n) converge aussi vers zéro.
137 . Remarques. I. Le théorème subsiste lorsque la série ( 1 ), convergente pour x<X, devient divergente quand x=X , pourvu que
(*) On pourrait remplacer zéro etX par deux limites quelconques; mais l'équation (S) deviendrait un peu plus compliquée. Du reste, le cas général se réduit aisément au cas particulier.
(") Cette fonction ç existe, car elle est la différence entre F(æ) et le polynôme qui la précède.
ti
Sï
la série (2) soit encore convergente pour cette valeur de x. En effet, les deux membres de la formule ( 2 J sont des fonctions continues, constamment égales; donc leurs limites, répondant à 2 = A, sont égales entre elles.
II. Ce même théorème permet de développer en série toute fonction dont la dérivée est algébrique, beaucoup plus simplement qu’on ne le pourrait faire par l’application du théorème de Mac-Laurin (120). Les exemples suivants vont justifier cette assertion.
Application*.
138. I. Développement de 1(1 -f-x). De F(x)=/(14-a:), on tire
F'(*)=:^;=l X-hX % 2 * 4 - ±X n T.
x étant compris entre 0 et +1. Par conséquent, entre ces mêmes limites,
on n’ajoute pas de constante, parce que f(l) = 0,
159. Remarque. La première série cesse d’être convergente lorsque 2 = 1 ; mais, comme la seconde l’est encore pour cette valeur de x, on a
110. IL Développement de 1(1 — x). Changeait x en — x dans (A), on obtient
jn-hi
’+irpr 4 ”
141 . III. Développement de arc tgæ. La dérivée de cette fonction
est
donc
