CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

On n’ajoute pas de constante, parce que le premier membre est supposé représenter le plus petit arc dont la tangente est x. D’ailleurs, la série (C) cesse d’être convergente à partir de *=±1.

442. IV, Développement de arc sin x. Cette fonction a pour dérivée Or, par la formule du binôme (111),

pourvu que «soit compris entre — 1 et +1 (exclusivement). Par suite,

, 1*’ , 1 .3 x“ 1.3. Sa;’

arc^^+is+Os+OTeT-

etc.

143. Remarque. La série (D) , encore convergente pour ®=1, donne

De même, en faisant æ = , on trouve

144. V. Développer la fonction qui a pour dérivée On a trouvé (128)

-ïx+x'~

i—ix+x'"

aV 3*V 2æ* *’•

D’ailleurs,

2 — ix+x* 1-H* — 1)‘ est la dérivée de arctg(x — 1). Donc

arctg(x — 1)

De plus.

as*

/as*

JJL ,

Xi*

ïX 1

~\JJP

TiT

arctg(— 1)=—

donc enfin

1 x as* x 5 \

/fl

/y*IO

2arctg ( x — 1)-+- -

St) — w

145. La série (G), qui est convergente entre x = ±/"2 (127), pourrait servir, comme le développement (C) de arctga;, à calculer le rapport de la circonférence au diamètre. Nous entrerons, à ce sujet, dans quelques détails.

1° D’abord, si l’on suppose x=l, on a

( n 4 " O ) ( 4 . 5 t '4i6'' + ' o) + ( Ï6^ + Ï6 rio + 32.11 )

2° x=[f'2 donne

2arctg(/2— x )+ï=j+\ = \k

=^ 2 [ï + B — 5 — ? + ^ + ïî“ ] + [ 1— ! + S““ ] ;

ou, à cause de

i=^*(ï + |— g— ? + § + Ts+ )• (•)

3° En combinant les formules (6) et (c), on obtient facilement

,=48y2 i)(i+ 5 l î+H ! s + s L j + ), (rf)

4° Le premier membre de la formule (G) est la même chose que 2[arc tg (os — 1)-|J] = 2 [arc tg (x— 1) 4 - arc tg i] = 2 arc tg-ï-^ ;