CHAPITRE VI. — SOMMATION DES SÉRIES

Solution. Cette équation donne d’abord

dy . i di= x ' A -

puis

/;•'»=*+ § ^+n^+ËI*’+-

ou

f~dt/=x+xy;

ou encore, en différenciant les deux membres, -dy=(i+y)dx+xdy.

Si l’on écrit ainsi cette équation différentielle :

dy xdx

on voit qu’elle a pour intégrale : d’où l’on conclut :

Ce résultat est évident par la formule du binôme (*). 173. Problème XVIII. Sommer la série

Solution. En opérant comme dans le Problème XVII, on trouve successivement :

~ I W»(w— lHm-2) , dx " ,-r i J '" 1 O X ~

(*) Le terme général de la série (I) a la forme œ*+f considérée

CL (Û -f-0 -f-tlO)

ci-dessus (165). Mais on voit qu'en faisant disparatlre les facteurs a+nt>, a’+nb\ on retombe sur le point de départ. C’est pourquoi nous avons placé cet exemple dans les applications de la seconde méthode. La même remarque est applicable au problème suivant, généralisation de celui-ci.

f x -m- ‘dy— — x~ m — jX ~ m+i — —

J x~ m ~'dy = yx~'",

x~ m ~'dy =x~’ n dy — myx~ m -'dx, dy dx

— — TH . . i »

ly = ml (1 + x) ;

et enfin

On a ainsi une nouvelle démonstration de la formule du binôme. 474. Problème XIX. Sommer la série

y~~ l '^a+l Æ- ^(a+l)(a-H2)' t r (<H-l)(a+2j(a+3) Solution. Le procédé suivi plusieurs fois donne

I [ ^Ldxz=alx+x+-j-.x J sc“ a-(-l

OU

ou encore

I ~P~dx =. alx + xy,

Si l'on compare cette équation (2) à l 'équation générale du premier ordre et du premier degré :

ÿ+Py=Q, ( 3 )

dont l’intégrale est

y=e -fr«*fQdxeS' >ix (**), (4)

(■) Ce problème , généralisation d'en île ceux i|ue nous avons résolus dans le chapitre III (58), échappe encore à la première méthode (I7i, note).

(■”) Si l’on multiplie les deux membres de l'équation (3) par e- fl dx , le premier membre devient la dérivée exacte de ye J vix - On a dune

[yc/Mij'— fjtfrex

ou f 0 drc tr *> ; etc.