CHAPITRE VI. — SOMMATION DES SÉRIES

on trouve

(î— æv*-* r x®-' , ...

Telle est la somme de la série (1). Il restera, dans chaque cas particulier, à effectuer l’intégration indiquée.

175. Si a est entier positif, l'intégration par parties donne, successivement,

J (l-æja aX — a-\\i-x) J (!-*)—« ax '

/ x®-* . \ lx \o-ï /* a»-3

(I— x)®-> o — 2\t — æ] J (l-xj*-* ’

Donc

les signes supérieurs se rapportent au cas où a est pair.

Pour déterminer la constante C, remarquons que, pour des valeurs de x suffisamment petites,

il— xJ

^1— xJ

[i-xl

(t— x)«-‘rl/ * \o \ ! x \«+» 1 / x \«+* , .

y— a & Lâ(l-x) o+l(l— x) + a+i[i—x) ±C J-( 7 )

Supprimant le facteur commun puis faisant x = 0 , nous trouvons

Or, la série (1) se réduit à son premier terme lorsque x= 0 ; donc la constante est nulle, et

rJ/£j a ~' Li

ll-xj

176. Remarques . I. D’après le dernier calcul, les deux séries

1 H — J/-4" , — TTw ■rrÆ*-

ri 1 ,

il — xj «+3 \l— xl J

ont ia même limite, lorsque ne surpasse pas l’unité. II. En particulier, si =1,

a Lâ a+l+a+2 o+3