Problème XXIV. Sommer les séries

y,=Æsiu , i})+^-sin 1 2^+^ sin’3(p4-

*r* * «jj 1

a,=xcos J 9 + cos’2ç+ — cos 5 3y+

Solution. La sommation de ces deux séries dépend encore des valeurs de y et de z (Probl. XXI). En effet,

z t —y t =x cos 2<p-+-‘— cos4f+-^cos 6©+ = — ^ /( 1 — 2a;cos 2<p-f-Æ*);

donc

1 , 1— 2rcos2o-+-**

»*-?' — iî=ÿ — • ‘ G )

l[(l— 2xco,2»+*’)(l — je)*]. (H)

186. Les formules (G), (H), traitées comme celles du n° 180, conduisent à quelques conséquences remarquables, parmi lesquelles nous indiquerons seulement les suivantes, laissant au lecteur le soin de les démontrer :

Æsin’(p+ ‘4rsin , 3(p-f-^sin , 5©-f

x cos 1 y -f- — cos 3(p+ J cos 5<p-t-

/j* t jp* m . ^

x sin ! <f sin 3ip-J-— sin 5f — .

, I* Jn I a. . —

®cos <p — ~ cos oç-}---cos o^p— .

- 1 — 2.rcos2ç+i u |

I+Sxcosaî+x’J

îl+SacosâiH-aU

Lu— xJ

I— 2.reos2®-fa; , .l

1 4x[t— a^sin’tp

— 4 arC (t— x 1 )M-4a.- , cos2<p’

t . 4a (1 — a:*)cos’<p

— 4 d ° ( 1 -a*)*—*** cos V

sin’ ç — 5 si n* 2<p4- si n’ 3<p — . .

...= -l COSÇ,

cos’ <j> — - cos’ 2 <p -I- - cos* 3ç>— . .

...=j/(4 cosç),

sin*<p — -sin* 3<p-I- - sin* 5q>-+-..

cos’ <p — ^ cos’ 3<p-j- cos* 5®—. .