I -+- w — cp -+- l\) -+-...= o
I — w2 -+- 92-t- ^ ~ . . .- 0, i-(p)s+!iî+(j)!+...^a,
on pourra déterminer les valeurs des quantités a, b,c,...,k,a' ,b' ,c ,...,k' , a", b", c", . .. , h",... par une méthode semblable à celle du n° 67: et il viendra »
ma ~- z' 4- z" -+- z'"'-h ... -h ?("), mb ■=. z' 4- w"-1 z" -+- o™^1 z'" -(- ... , roc — z' -+- fjl°-!?" -+- oa-2z"; -i- . . . ,
ensuite
137 a' = u' -+- u" ■+■ «'" -4- . . . 4- «W , rnb' = u' -+- co"-1 u" -+- cpCT 1 w'" -)-...,
CT C' = «' -t- to"-2 «<" 4- (Bw 2 m'" -+- . . . ,
et ainsi de suite.
82. Examinons les valeurs des quantités a, b, c,..., k, et il est d'abord
clair que la valeur de -usa sera égale à la somme de toutes les racines x ,
x", x'",..., xw\ de sorte que l'on aura 7S-,a = —m; et par conséquent
Ensuite, si l'on met w2, w3,./. à la place de es, $,..:, en sorte que les
racines de l'équation rra — i = o soient représentées par i , w, o;a, «3
wra< (24), on aura
ro/i = a' 4- cos' 4- w'.z'"4- w3zIV 4- ... -I- o>"~ lz^\
et pour avoir les valeurs des quantités ■s h, zsg, ...il n'y aura qu'à changer successivement, dans cette expression, la racine w en u-, w3,.... Or l'expression précédente de isk est la même que celle de la quan-
DES EQUATIONS. 351
tité aw ou t du nu 76; par conséquent celles de 7sh, v;g,... seront aussi les mêmes que celles des quantités a(2v), a(3v),... du même numéro; d'où il est facile de conclure que les coefficients a, b, c, cl,... de l'équation (l) du n" 80, étant multipliés part?, seront respectivement égaux à ceux des coefficients a, b, c,,.. de l'équation (k) du n° 65, qui occuperont dans la série a, b, c,..., les places marquées par les nombres i, v, 2v, 3v,..., p. — y, chacun de ces coefficients étant multiplié par p..
Ainsi l'on pourra appliquer sur-le-champ aux coefficients a, b, c,... de la formule ci-dessus les mêmes conclusions des nos 76 et suivants.
83. Quant aux autres coefficients a', b',c',..., a", b", c", ... de la même formule (/) on pourra, si l'on veut, les faire dépendre des précédents, ou simplement d'un quelconque d'entre eux, par des considérations semblables à celles du n° 79; on peut aussi déterminer à priori, d'après les formules du n° 81 , le degré et la forme de l'équation d'où chacun de ces coefficients doit dépendre immédiatement.
Pour cet effet il suffira de remarquer que les quantités u, u", u",... sont analogues aux quantités correspondantes z, z", z'",... en ce que ces quantités sont des fonctions des mêmes racines, lesquelles ont la propriété de demeurer les mêmes, quelques permutations qu'on fasse entre ces racines; il en est de même des quantités v' , v" , v'",. ..; d'où il s'ensuit
que l'on pourra appliquer aux coefficients b', c', cl' b", c", d" ,... des
raisonnements et des conclusions semblables à celles qui ont lieu pour les coefficients b, c, cl,
.Mais à l'égard des coefficients a', a",... il faudra les considérer à part, et après avoir prouvé par des raisonnements analogues à ceux du n° 77
que chacune de ces quantités ne pourra avoir que — ""., ',J' valeurs 1 * r * (I . 2 . 3 . . . v)°
différentes, on remarquera que ces quantités ne souffrant aucun changement par les permutations des quantités u', u", u'",..., w(C7), ou c', v" , v'",..., iA7n}, ou, etc., entre elles, il faudra encore diviser le nombre
— ' ' " ^ par I.2.3...3T pour avoir celui des valeurs différentes de cha- [1.1.6. . .v)3 * '
cun des coefficients a', a",...; d'où il s'ensuit que chacun de ces mêmes
coefficients devra être déterminé par une équation particulière du degré
r.2.3. . . ro ( i . 2 . 3 . . . v )"
84. Supposons que l'équation proposée soit d'un degré pair, et prenons sr = 2, en sorte que l'on ait u = 2v; dans ce cas l'équation y™ — i = o deviendra
laquelle donne les deux racines
y = i et y = — i ;
et il" faudra, suivant la méthode précédente, que l'équation proposée
x-' -i- mx''~l — nx-'~" — px*'~3 + ...= o
soit formée du produit de ces deux-ci
x' — (a -f- b ) ,rv— ' -h I «' -i- 6' ) x~'~- — ( a" — 6" J .r''-3 — . . . = o, x'' — ( a — b ) x''~' -f- (a' — b' ) xw~2 — (a" — b1' ) x"~3 -f- . . . = o .
Ainsi l'on aura
m , z' — z" a -- — — et b — -,
z' —-■ x' -+- X1" -r- Xy -f- . . . -4- ^i2'-^'),
z"-- ;r"-f ,rIV + jcvi '-+- ... -H .r(2"). Et l'on trouvera que l'équation en b sera du degré
