III
et ensuite (71)
b = ~5T' C=T-' f/=-5-' e=-5~' S', 6", 6'", 6" étant les quatre racines de l'équation
6< - T03 -+- Uô2 - X0 + Y = o,
laquelle sera un diviseur de l'équation du vingt-quatrième degré qu'on doit trouver pour la valeur de Q.
Maintenant, pour avoir la valeur des coefficients T, U, . . . , il faudra élever le polynôme
x' -\- a.x" -\- a2x"' '-+- a?xl" -+- a"xy
à la cinquième puissance, ce qui donnera, à cause de a5 = i, cet autre polynôme
où
£ = .z1'5 -+- x"s -j- .a?'"5 + #IV5 -+- •#" -+- \io x1 x" x1" X™ x*
-t- 20 [^'3(x"x' + *,'"^?!ï) -4- X"% (x'x'" -+- Xlv Xv) -+- x'"3{x'x" -i- x"x'v)
-+- xIV3(x'x" -+- x'" xv) ■+■ x',3(x'x1'' -+- x"x'" )] + 3o[x'(x"2 xv2+ x'"2xiv2) -+- x" (x'2x'"2-i- x"2xv2) + x" '(x'2 'x*2 -i-x"2x1^) -h xjy(x'2x"2-h x'"2 xv2) + xy (x"x"2-h x"1^"2)],
Et l'on aura d'abord
Or, en considérant l'expression de |, on voit que les termes
x"- -+- x"b -t- x"Ji -+■ xlwi -+- a?" -+- i20x'.r";r"'.r,v.rv
peuvent s'exprimer immédiatement par les coefficients m, n,... de l'équation proposée; et il est facile de trouver que la valeur de ces termes sera
— m5 -t- 5m3n — 5m2p -+- 5m {q — n2) -+- 5np — i25/\
Donc, si l'on fait pour plus de simplicité
z = i\xn (x" xy -+- x'" x'y) -f- x"3 (x' x"'-~ xiyxv) -f- x'"3{x"xiy -+- x' xy ) -+- xiy3(x'"xy ■+- x' x" ) + xy3 {x' x1" + x"x'") ] + 3 [x' (x"2xn-h x'"2xlv2) + x" (x'2 x'"2 -h xiy2xy2 ) + x'"(x"2x!v2 + x'2 xy2 ) -t- x'y(x'"2xy2 ■+■ x'2 x"2 ) + xy {.x12 xiv2 -+■ x"2x'"2)], on aura
T = 5oz — 4/7î5+ 2^ [m3n — m2p -+- m [q — n2) -+- np — 2.5/'],
et l'on trouvera que la quantité z ne sera susceptible que des six valeurs suivantes, que nous désignerons par z', z", z'", zIV, zv, zvt:
z' = 2 [a;'3 {x" x" -t- ar'"a?,v) H- a?"3 i a?'#"' -t- a:iva;v) -4- a:'"3(a;"a:IV H- ii?'a;v) -h a?"3 (a7'"^v + ar' x" ) H- a7T3 (a;' x1" -f- x"x"')] -f- 3 [x'(x"2xy2-r- x"'2x'y2) -+- x" (x'2 x'"2 -h x'y2xy2) H- a;'"(a;"2aîIV2 -f- x'2 x"2) -+- xiv(x'"2xy2 ■+■ x'2 x"2 ) -+- xy (x'2 a?"2-l- x"2x'"2)],
z" = 2 [x'3 (x" x*" + a?'".rT) -1- a?"3(a;' x1" ■+- xiy xy) -f- a?'"3 (x"xy -f a?'a,',v) -t- a;y3 (a?'"a;IV -i- x' a;" ) -t- arIV3 (x' xy -t- x" x"' )] -+- 3 [a;'(a?"2a:IV2-t- ar'"2a?T2) + a?"(a;'2a:"'J -i- a;IV2a:v2) -1- x'" (x"2xy2 -,- x'2x'y2)
-h xy {x'"2xzy2 -r- x'2 x" ' ) -+- a?IV(a:'2 a:"5 -+- x"2x'"2 )],
z* = 2 [.r'3 (a;''xv -f- x'"xiy) -hx"3(x'xty ■+- x'"xy ) -1- x,y3(x"x"' -h x' xy ) ■
-t- X1"3 ( X" Xy -*r X' X" ) -i- Xy3 ( X' X'" -+- X"xiy ) ]
-+- 3 [x' (x"2xy2 -i- x'"2xiv2) -t- x" (x'2 a?lv2-f- x'"2xy2) -f- xiy(x"2x'"'-i- x'2 x"2
-t- x'"(x'y2xy2 -i- x'2x"2) -H a;T (a?'2 a?'"2 -f- ar"2arIV2)],
2,v = 2 [x'3 (x" x'" -+- x,y xy) + x"3(x' x" + «"'a?') -J- a;IV3(a?"ar'' -+- x' x1") -+- xy3 ( x'"xs" -+- x' x" ) -+- x'"3 (x' xy -\- x"x'y)] -+- 3 \x' [x"2x'"2 ■+- xiy2xy2) -r- x" [x12 xiy'2 -f- x'"2xy2) ■+■ a?IV(a;"2a:'2 -f- x'2 x'"2)
■+- xy (x""2xiy2 -f- a?'2 a:"2) -I- ar'" (a?'2 a:v-'-!- a;"2a:'v2')],
zv = 2 [a;'3 (x" x'" -+- x'y xy) -!- a;"3 (ar' a?' -i- x'"xly) -f- ar"(a;"a;IV -+- x' x"') H- xiy3{x'"xy -i- a?' a:") H- a;'"3(a?'a?IV -f- a/'x' )] -i- 3[a;'ia:"2a?"'- -I- x'y2xy2)->- x" (x'2 x"2 -+- a:"'2arIV2) -i- a:v (x"2a:IV2 H- a''2 a;'"2) -r- a?IV(a;'"2a?ï2-(- x'2 x"2) -f- x'"(x'2 x,y2 -+- x"2xy2)~\,
zVI = 2 [a?'3(a?"a?IV 4- a?'" a?v) 4- x"3(x' x* 4- a?'"a?'v) -+- xy3(x"x'" 4- x' xis ;
-+- 3[ar'(a?"2a?IV24- a?'"2a?v2) 4- jc"(a;'2^v2 4- a?'"2a?,v2j -+- xv(x"2x'"2 4- x'2xiv2)
4- a?'"(a?,v2a?v24- x'2 x"2) 4- a?IV(a?'2 x'"2 -h a?"2a?v:)].
En effet, si l'on fait dans ces formules telles permutations que l'on voudra entre les racines x', x", x'",..., on verra toujours renaître les mêmes formules; d'où il s'ensuit que les six quantités z', z", z" ,... seront nécessairement les racines d'une équation du sixième degré, telle que
Bz<
Cz34-Dz2 — Ez +F:
dont les coefficients A, B,... pourront par conséquent se déterminer par les règles connues.
On aura, par exemple,
A = z' 4- z" -+- z'" +- z'v 4- zv 4- zv" ; c'est-à-dire
4a?IVJ(a?' x" 4- x' x'" 4- x' 4 a?" (x' x" 4- x' x'" 4- x'
t?"a'v 4- x'"x" -+- x'"x" 4- X'" xy) :' x" H- x'"x'v 4- x'"xy 4- x' vx' ' J v' xv 4- ar"a?"-4- x" x" -+- xly x" ) v' a?v 4- x" x'" 4- ^•"j?v' 4- a?'" a?v) r'a?'v 4- j?"x'" 4- x" x" 4- x'"x" ) H- 6x' [(x"x'"Y 4- (a?"a?'v)24- (a?"a?T)24- (x'"xIV)'4- (a?'"a?v)2- 4- 6 a?" [(a?' a.'")2 4- (a?'a?,v)24- (a?'a?T)24- (a?'"a?iv)2 4- (a?'"a?")2- 4- 6a?'" [(a?'a?")24 (x'x'")2 4- (a?'a?T)2 4- (a?"a?IV)2 H- (a?"a?v)2 - 4- 6a?IV[(a?'a?" )2 -i- [x' x'" )24- (a?'a?v)2 4- (a?" a?" f 4- (a?"a?v)2- 4- 6a?" [(a?'a?")24- (x'x'" )24- (a?'xIV)2 h- (a?"a?'")24- (a?"a?'vj2
Or on a dans l'équation proposée
"a?iv )2
donc les cinq premiers membres de la valeur de A deviendront
4« (x'3 -+- x"3 -+- x'"' -4- X'" -4- xn)
-h ^mt.x" -+- x"* -4- x'"1 -4- x"-* -+- xvi ) -t- 4(#'5 + x'"' -4- x'"'' -4- x"b ■+■ x"')
= 4«(— m3 -4- 3mn— 3p) ■+- ^m (m4 — 4'«2« -+- 4'"/' — 4<7 + 2"'I -t- 4 [— mh -+- 5m3n — 5m'^ + 5m(q — n2) — 5r-\- 5np].
Pour trouver la valeur des cinq derniers membres de la quantité A, il faudra commencer par chercher celle de la quantité
[x' x" )2 + (x'x'" )2-\- (x' xIV)2-h (x' a?T)J-t- (x" x"1 ? -4- (x"xlv)2 -4- (x"x" f -+- (x'"xl"Y -+- (x'"xy)2 + ixivxy )',
que nous désignerons, pour abréger, par /; or, si l'on carre la valeur de n, on aura
B!=/4-a« {x'1 -+- x"2 -+- x'"2 -+ x'"2 -4- x"2 1 -4- im{x'3 + x"3-i- x'"3 -4- x'"3 -+- xV3) -4- 2 (x"' + .r"' -4- #"" + a?IV4 -4- a:Ti )
= 1 -h in {m2 — in) -4- im{— m3 -4- 3mrc — 3/;) H- 2 (m* — 4™!« -+- 4'WP ~~ 4? + 2»2)>
d'où
1 = n2 — in(m2 — in) — im( — m? ■+■ 3 mn — 3 p )
maintenant il est facile de trouver que la valeur des cinq derniers membres de A sera exprimée par
6l(x' -+- x" -t- x'" -h x1"-' -i- xv)
— 6(m2 — in) (x'3-±x"'-+- x'"J-h x'^-hx''3) -+- 6(VS + x'!i-\-xmi-ï- x'vi -+- xyi)
= — 6lm — 6 (m2 — ara) ( — m2 -h 3mn — Sp)
-4- 6 [ — mi -+- 5m3n — 5 m2p -h 5m (q — n2) — 5 r H- 5np];
de sorte qu'en rassemblant toutes ces quantités on aura enfin
A = — 6mn I 3ra — 2m2) -+- 2 (8n -+- 3m2) ( — m3 -+- 3mn — 3p) -r- 16m ( m4 — 4m2,ï "+" 4m/> — 4? ~+~ 2n2) ■+- 10 [ — ms-i- 5m'n — 5m-p + 5m < q — »2) — 5r -1- 5ra/>].
On pourra trouver d'une manière semblable la valeur de chacun des autres coefficients B, C,... de l'équation z, et l'on en abrégera beaucoup le calcul si l'on fait usage des règles données par M. Cramer à la fin de son Introduction à l'Analyse des lignes courbes, pour calculer la somme des produits des racines d'une équation quelconque, prises deux à deux, ou trois à trois, ou, etc., et élevées chacune à une puissance quelconque donnée; mais nous n'entrerons point ici dans ce détail qui, outre qu'il exigerait des calculs très-longs, ne saurait d'ailleurs jeter aucune lumière sur la résolution des équations du cinquième degré; car comme la réduite en z est du sixième degré, elle ne sera pas résoluble à moins qu'elle ne puisse s'abaisser a un degré inférieur au cinquième; or c'est ce qui ne me paraît guère possible d'après la forme des racines z , z" ',... de cette équation.
75. Nous avons supposé depuis le n° 70 jusqu'ici, que l'exposant p. de l'équation proposée était un nombre premier; voyons maintenant ce qui doit arriver lorsque p. sera un nombre composé.
Dans -ce cas il est facile de prouver par des raisonnements analogues à ceux du n° 59 que les conclusions du numéro cité et des numéros suivants n'auront lieu que tant qu'on ne substituera à la place de a que les puissances av, c/.m , a9,..., dont les exposants v, sr, p,... sont des nombres premiers à p.; d'où il s'ensuit :
r° Qu'en désignant par ). — 1 le nombre des exposants v, v>, p,... dont il s'agit, l'équation en 0, qui est généralement du degré 1.2. 3. ..(p. — 1),
sera décomposable en ' ' "' équations, chacune du degré X
et telle que
les coefficients T, U, X,... étant donnés chacun par une équation du
degré ' V
20 Que les^ racines de cette équation en 6 étant désignées par 6', S" .
i ♦■*• Vë7 W W' ■ .il.
S ..... les quantités - — ■> - — i - — >■■■ exprimeront les valeurs de ceux
des coefficients k, h, g,..., c, b dont le rang, à commencer par k, sera marqué par les nombres i, v, zs, p,... premiers à p.; de sorte que tous ces coefficients seront donnés par une même équation.
3° Que pour appliquer la méthode du n° 71 à la recherche des coefficients T, V, X,..., il ne faudra pas se servir de l'équation (g) du n° 57 pour éliminer/, mais de l'équation (i) qu'on trouvera par la méthode du n° 60, et dont les racines seront «, oC, a™, ap,...; que, par conséquent, si l'on veut faire usage de la méthode du n° 72 pour trouver les coefficients dont il s'agit, il faudra d'abord chercher d'après l'équation (i) les sommes des racines oc, x1, cim ', ap,..., de leurs carrés, de leurs cubes, etc., qu'on dénotera par S', S", S'",...; ensuite ayant élevé successivement le polynôme
aux puissances deuxième, troisième, etc., et représentant ces puissances par
£•2 + a?2 + aJ £" + a3 H'" "+-••• > li + a\\ -+- a- 1\ H- a3 £™ -+-... ,
on aura les quantités
pour les sommes des racines 0', 0", S'",... élevées aux puissances première, deuxième, troisième, etc., d'où il s'ensuit qu'on aura enfin par
les formules connues
T = Il 4- S' £' -f- S" £" + S'"£'" + . . . ,
u = - t (xg -f- s-?' + s"r+ ■■■■)- -1 âs. + s'ç, -+- st. +.-■).
x = - u(x? -4- s'r + s*r +• ■ 0-5 t(^^4- s'?: 4- st. -+-■ • •:
76. Pour trouver maintenant les valeurs des autres coefficients qui; dans la série k, h, g,..., c, b occupent des places marquées par des nombres commensurables à a, supposons, en général, f/. — vw, et que l'on cherche ceux des coefficients dont il s'agit dont l'exposant du rang sera multiple de v; il est facile de voir par ce qui a été dit dans le n° 68, que si l'on exprime, pour plus de simplicité, ces coefficients par
et qu'on fasse av = w, on aura
a(v) = a?' 4- tua?" 4- &>2.r'"-T- m8*™ 4-. . . 4- c^~' x^ ;
et, pour avoir les autres quantités a(2v>, a(3v),..., il n'y aura qu'à changer successivement w en w2, w3, —
Soit, à l'imitation de ce qui a été fait dans le n° 69,
t '= x' 4- <ua?'' -f- 'si1 x'" 4- u>3xiy 4- ... 4- w|i l .rW,
et cherchons de même quelle doit être la nature de l'équation en t. Pour cet effet on remarquera d'abord que, puisque u = a\ on aura
co" = a"" = a|i — 1 ; et de là
COI"M = &J, !ù"+! = W2, . . . .
En général, puisque 1, a, ex2, a3,..., c/.^~' sont les racines de l'équation
y^— 1 = 0, les puissances r, m, w2, y3,..., wCT t seront les racines de l'équation yw — i = o (24).
Faisant donc rentrer les puissances de o> plus hautes que ojra l dans la classé des inférieures, l'expression de t deviendra de cette forme
en supposant
t = z' -+- M Z" -+- M2 Z'" -i- M3 Z " -r . . . -+- «""' Z(ra) ,
z' = x' + #(»+'> + •z(w+'> -+- ... 4- J?'11-1"1-'', z" = x" +■ x("+2> -h x(2ra+2> -4- ... 4- j(f-°+'l, z-'"-= #'"4- a.-'"-1-3) -h x(™+V -+-...-+- x(*-*-i-3),
«W = x(n' H- x(2") 4- art3") 4- . . . 4- ««.
77. En considérant maintenant l'équation en t dans toute sa généralité, il est clair qu'elle devrait être du degré 1 .2. 3... a, puisqu'il y a autant de permutations possibles entre les p. racines x', x", x'",..., et dont chacune doit donner une valeur particulière de t; mais si parmi ces valeurs il y en a d'égales, on pourra en faire abstraction et abaisser par là l'équation en t à un moindre degré; or c'est précisément ce qui a lieu dans le cas présent.
En effet, il est visible que la quantité s' demeurera toujours la même, quelque permutation qu'on fasse entre les v racines x', x[vs+{), ,r(2CT+",. ..; donc, puisque v choses admettent i.2.3,..v permutations, il s'ensuit d'abord que les 1.2. 3. ..p. valeurs de t seront telles que chacune se trouvera répétée i.2.3...v fois; en sorte que parmi ces valeurs il ne pourra
v en avoir que i^i^- c]e différentes entre elles. 1 I .2.3. . .V
Considérons ensuite la quantité z", on prouvera de la même manière
que chacune de ces dernières valeurs devra aussi se trouver répétée
î.2.3...v fois, ce qui réduira le nombre des valeurs différentes de 1
En continuant le même raisonnement à l'égard des autres quantités s'", sIV,..., z(ÎTT), on en conclura enfin que le nombre des valeurs différentes m. 44
de t ne sera que — ■■•■■ -P (je sorje (,ue Péquation en t ne montera
qu au degré 5 '—■
n D (I .2.3. . .Vf
78. Cela posé, si l'on compare maintenant l'expression précédente de t avec celle du n° 69, on verra aisément qu'elle est susceptible de remarques semblables, relativement aux permutations des quantités s', z", z'",... entre elles; d'où l'on conclura :
i° Qu'en supposant ■us égal à un nombre premier, l'équation en t ne renfermera que des puissances de t dont les exposants soient multiples de ta; de sorte qu'en faisant t™ = S, on aura une équation en 6 du degré
Que cette •quations de la form
Q, . , , 1 . 2 . 3 ... u. ue cette équation sera toujours décomposante en r — -. ^
g»-i T0'»-2+ US*-3- Xô™-"-}-. . .^=0,
où les coefficients T, U, . . . ne dépendront que d'une équation du degré 1 . 2 . 3 . . . [j.
[m — i)ro(i.2.3...vr'
3° Que, si l'on désigne .par 6', 6", 0'",... les v> — 1 racines de l'équation précédente, les quantités
r^/W W W ye^ï
\>- ' V- ' lJ- ' F-
seront les valeurs de ceux des coefficients k, h, g,..., c, b qui occupent dans cette série les places vième, ( 2 v yéme, ( 3 v fme, . . . jusqu'à la ( \x - vfme inclusivement, ou, ce qui revient au même (à cause que le nombre de tous les coefficients a, b, c,..., k est \x), des coefficients qui occupent les mêmes places dans la série a, b, c,..., k;
4° Que, pour trouver les valeurs des coefficients T, U, X,..., on pourra se servir pareillement des métbodes des n"s 7! et 72, en ayant seulement attention de mettre partout l'exposant zs à la place de l'exposant p.;
5° Que, si 7s n'est pas un nombre premier, il faudra apporter aux conclusions précédentes des modifications relatives à la nature du nombre zs et qu'on trouvera aisément par des considérations semblables à celles qui ont fait l'objet du n° 75.
79. On voit donc, d'après ce qui précède, que, lorsque l'exposant p. de l'équation proposée est un nombre composé, les coefficients b, c, d,... ne peuvent pas être les racines d'une même équation, comme cela a lieu dans le cas où l'exposant p. est un nombre premier, mais que ces coefficients dépendent alors d'équations différentes suivant que leurs places dans la série a, b, c, d,... sont marquées par des nombres dont les plus grandes mesures avec le nombre p. sont différentes.
Cependant il ne sera pas nécessaire de chercher et de résoudre toutes ces différentes équations; car les coefficients dont il s'agit dépendent mutuellement les uns des autres, en sorte que dès que l'on, aura trouvé la valeur d'un de ces coefficients on pourra en déduire aisément celles de tous les autres. En effet, si l'on suppose que l'on élimine y de l'équation [k) du n° 65 par le moyen de l'équation y^ — i = o, et qu'on compare ensuite l'équation résultante terme à terme avec la proposée, on aura autant d'équations qu'il y a de coefficients indéterminés a, b, c,..., par lesquelles on pourra déterminer chacun de ces coefficients : or, à l'exception du premier coefficient a qui se trouvera donné par une équation où il n'y aura point d'autres inconnues, tous les autres coefficients inconnus b, c,... se trouveront mêlés entre eux, de manière que par la méthode ordinaire d'élimination on pourra déterminer la valeur de chacune de ces inconnues par une autre quelconque d'entre elles; sur quoi on fera des remarques semblables à celles du n° 58.
80. M. Bezout, dans le dessein de simplifier et de faciliter l'usage de sa méthode lorsque l'exposant de l'équation proposée est un nombre composé, a donné une seconde méthode qui parait en quelque manière plus générale que la première, mais qui revient cependant à la même dans le fond, comme nous Talions faire voir.
Suivant cette méthode, si l'exposant p. de l'équation proposée est re-
présenté par le produit vis des deux nombres v et is, on-prendra deux
équations de cette forme
l x'' — (a ■+■ by ■+■ cy2 -+- dy3 -+-...-)- Ay"-1 ) x'~'
1 h- (a' 4- &'y ■+- c'y2 -+- d'y3 +,...+ k'ya~' ) x'—"-
±[a'v-'»-4- 6C"-')j+ c(v-Ojj) rfc-')j3 + __4. /j(v-,)j,^-i] — o, y" — i = o.
Et éliminant y on aura une équation finale en x du degré vis qu'on comparera terme à terme avec la proposée; ce qui donnera vis équations particulières entre les coefficients a, b,c,..., a', b', c' ,..., dont le nombre est aussi vis; de sorte qu'on pourra par là déterminer chacun de ces coefficients.
Or, comme l'équation yCT — i = o donne zs valeurs de y, on aura, par la substitution successive de ces valeurs, autant d'équations en x, chacune du degré v; d'où l'on tirera av valeurs de x, qui seront les racines de l'équation proposée.
I! est clair, par la théorie de l'élimination exposée dans le n° 13, que l'équation résultante de l'élimination de y dans les deux équations cidessus ne sera autre chose que le produit de toutes les équations (/) que l'on aurait en y mettant à la place de y les sr racines de l'équation ym — i =o; d'où l'on voit que l'esprit de cette méthode consiste à décomposer l'équation proposée du degré vis en is équations, chacune du vieme {jegr^) ej ceja moyennant une équation du degré is, de la forme y*7 — i = o.
Toute la difficulté consiste dans la détermination des coefficients inconnus a, b, c,..,, a', b', c' ,...; c'est pourquoi il est bon de rechercher à priori quelle doit être la nature des équations par lesquelles ces quantités doivent se déterminer.
8t. Supposons donc que l'équation proposée du degré p. = vis, et
dont les racines sont x', x" , x"',..., soit le produit de tz équations telles que
X' — z' Xv~' -+- II' X''~2 — V' X''~% -(-...=: O,
X'' — Z'" ' X''~% -+- II'" X''~2 — v'" x''-5 ■+■ . . . — O,
X' — z(13J.z:,— ' -r- u^xv~'' — vi^x^3 -+- . . . = o;
il faudra que chacune de ces équations renferme v racines de la proposée; de sorte qu'en partageant la totalité des p. racines a?', x", x'",..., x{w en tz systèmes de v racines chacun, et tels par exemple que
xCî, X^™\ X^"\. . ., X^\
on aura par la nature des équations s' égal à la somme, u1 égal à la somme des produits deux à deux, v égal à la somme des produits trois à trois, etc., des racines a/, ar{ra+,), x['2m+,), — xiv^zs+t); de même on aura z" égal à la somme, u" égal à la somme des produits deux à deux, v" égal à la somme des produits trois à trois, etc., des racines x", xl™+2), ir('2C7+-),..., xiv^r!S+2), et ainsi de suite.
Or, si l'on désigne par i, w, d>, |,... les zs racines de l'équation y™ — i = o, on aura (numéro précédent)
rt + &0) -f- CdlM- fl?C03-t- . . .-+- k~W"~' == z", « -+- 6 ffl H- CCO2 H- (/co3 + ...-+- If CO"'1 = Z'",
et de même
et ainsi de suite.
b'o -+- c'a2 -f- ,û?'oj3 + . . . -+- k'<am~' = u'",
Donc, puisque par la nature de l'équation yu — i = o qui manque de tous les termes intermédiaires on a
