V , , .. [V -f- i) f V -+- 2) [v -f- 3). . .IV

r -, cest-a-dire ^ ,

avec tous les exposants pairs.

Donc, si l'on suppose que l'équation proposée ait un diviseur du degré v et tel que

DES ÉQUATIONS, on trouvera pour m' une équation du degré

ce qui s'accorde avec ce que l'on sait d'ailleurs, puisque ce nombre exprime celui des combinaisons de 2v choses prises v à v.

Et comme en faisant

— m = a -+- b = ho

on doit avoir une équation en b qui n'ait que des puissances paires, il s'ensuit que l'équation en m' sera telle que, si l'on y fait disparaître le second terme, tous les termes alternatifs disparaîtront en même temps, comme nous l'avons vu par rapport aux équations du quatrième degré (35).

85. Si l'équation proposée est du sixième degré, en sorte que v = 3, et qu'on fasse l\b- = 0, on aura une équation en 6 du degré

M. Bezout pense que cette équation pourra se décomposer en deux équations, au moyen d'une équation du second degré : c'est de quoi je doute fort; en effet, les racines de l'équation en 6 seront représentées par ces dix quantités, lesquelles renferment toutes les valeurs de (z' — z")qui peuvent résulter des permutations entre les six racines ad ' , x" , x" ',...

-I- x" -+- xIV — x" H- x" -+■ xy — x'

-+- xy -4- xVI — x"

Or, si l'on suppose que les deux facteurs de l'équation dont il s'agit soient représentés par

0s yg<+ g.03/j02+ /0 k=o, Qo-f'Q* -h g'63- h'B*+ i'ô - /.-'= o,

il faudra que / soit égale à la somme de cinq des dix quantités précédentes, et que/' soit égale à la somme des cinq autres; et pour que les coefficients / et /' ne soient affectés que de radicaux du second degré, il faudra que ces deux coefficients soient les racines d'une équation du second degré telle que

M et N étant des fonctions rationnelles des coefficients m, n, p,... de l'équation proposée; on aura donc

M =/-+/' et N=//';

de sorte que tant la somme que le produit des deux quantités /et/' devront être des fonctions rationnelles de m, n, p,... et par conséquent des fonctions des racines x', x", x'" ,... telles, qu'elles ne changent point de valeur, quelque permutation qu'on fasse entre ces racines; or cette condition a bien lieu à l'égard de la somme /-+-/', qui est égale à la somme de toutes les dix quantités ci-dessus; mais il n'en est pas de même à l'égard du produit//*'; car on peut s'assurer facilement que, de quelque manière qu'on partage la somme des dix racines précédentes en deux sommes partielles de cinq racines chacune, le produit de ces deux sommes partielles n'aura jamais la propriété de demeurer invariable dans toutes les permutations qu'on pourra faire des racines x', x", x'",... entre elles.

On pourrait dire qu'il ne serait peut-être pas nécessaire que les deux quantités /et/' fussent les racines d'une même équation du second degré, et que l'une de ces quantités pourrait dépendre d'une équation et l'autre d'une autre; mais pour détruire cette exception il suffit de considérer que, supposant /déterminée par une équation du second degré

telle que

les deux racines de celte équation seront nécessairement égales chacune à la somme de cinq quelconques des dix quantités précédentes; et il faudra que ces deux sommes ajoutées ensemble produisent une quantité M qui ait la propriété de demeurer la même, quelque permutation qu'on fasse entre les racines x' , oc", oc'",.. . ; ce qui ne saurait avoir lieu à moins que les deux sommes dont nous parlons ne renferment toutes les dix quantités en question; par conséquent, l'une étant la somme de cinq de ces quantités, l'autre devra être nécessairement celle des cinq autres.