SECTION QUATRIÈME

CONCLUSION DES R É F LEXIONS TR ÉCÉDE NT ES, AVEC QUELQUES REMARQUES GÉNÉ- RALES SUR LA TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS, ET SUR LEUR RÉDUCTION OU ABAISSEMENT A UN MOINDRE DEGRÉ.

86. On a dû voir par l'analyse que nous venons de donner des principales méthodes connues pour la résolution des équations, que ces méthodes se réduisent toutes à un même principe général, savoir à trouver des fonctions des racines de l'équation proposée, lesquelles soient telles : t° que l'équation ou les équations par lesquelles elles seront données, c'est-à-dire dont elles seront les racines (équations qu'on nomme communément les réduites), se trouvent d'un degré moindre que celui de la proposée, ou soient au moins décomposahles en d'autres équations d'un degré moindre que celui-là; 20 que l'on puisse en déduire aisément les valeurs des racines cherchées.

L'art de résoudre les équations consiste donc à découvrir des fonctions des racines, qui aient les propriétés que nous venons d'énoncer; mais est-il toujours possible de trouver de telles fonctions, pour les équations d'un degré quelconque, c'est-à-dire pour tel nombre de racines qu'on voudra? C'est sur quoi il parait très-difficile de pouvoir prononcer en général.

A l'égard des équations qui ne passent pas le quatrième degré, les fonctions les plus simples qui donnent leur résolution peuvent être représentées par la formule générale

x' -+■ yx" + y2x'" -+-...-+- yf-~x x^,

x', x", x'",..., x{v-] étant les racines de l'équation proposée, qu'on suppose être du degré p., et jetant une racine quelconque autre que l'unité de l'équation

c'est-à-dire une racine quelconque de l'équation

comme il résulte de tout ce qu'on a exposé dans les deux premières Sections, touchant la résolution des équations du troisième et du quatrième degré.

Quant à celle des équations du second degré dont nous avons jusqu'à présent fait abstraction, il est visible qu'elle se rapporte aussi au même principe; car en faisant \j. = 2, on aura la fonction x' -hyx"; et l'équation y + 1=0 donnant y = — 1 , cette fonction deviendra x' — x", c'està-dire la différence des deux racines; or l'art de résoudre les équations du second degré consiste uniquement à faire évanouir le second terme pour avoir une réduite qui, ne contenant que le carré de l'inconnue, soit, résoluble par la simple extraction de la racine carrée; et comme l'évanouissement du second terme dans une équation quelconque exige qu'on diminue les racines du coefficient de ce terme pris avec un signe contraire, et divisé par l'exposant du degré de l'équation, c'est-à-dire de la somme de toutes les racines divisée par le nombre de ces racines, il s'ensuit que la réduite du second degré aura pour racines les différences entre les racines de la proposée, divisées par 2, ou bien ces différences mêmes, en supposant qu'on augmente les racines de la réduite dans la raison de 1 à 2, ce qui ne change rien à la nature de cette équation.

Il semble donc qu'on pourrait conclure de là par induction que toute

équation, de quelque degré qu'elle soil, sera aussi résoluble à l'aide d'une réduite dont les racines soient représentées par la même formule

x' -t- yx" -+- y*xm -+- y3xJ" -+-....

Mais, d'après ce que nous avons démontré dans la Section précédente à l'occasion des méthodes de MM. Euler et Bezout, lesquelles conduisent directement à de pareilles réduites, on a, ce semble, lieu de se con- • vaincre d'avance que cette conclusion se trouvera en défaut dès le cinquième degré; d'où il s'ensuit que, si la résolution algébrique des équations des degrés supérieurs au quatrième n'est pas impossible, elle doit dépendre de quelques fonctions des racines, différentes de la précédente.

87. Comme jusqu'ici nous n'avons fait que chercher ces sortes de fonctions à posteriori et d'après les méthodes connues pour la résolution des équations, il est nécessaire de faire voir maintenant comment il faudrait s'y prendre pour les trouver à priori et sans supposer d'autres principes que ceux qui suivent immédiatement de la nature même des équations : c'est l'objet que je me propose principalement dans cette Section.

Je donnerai d'abord des règles directes et générales pour déterminer le degré et la nature de l'équation d'où une fonction quelconque proposée des racines d'une équation de degré donné devra dépendre; quoique cette matière ait déjà été traitée par d'habiles Géomètres, je crois qu'elle peut l'être encore d'une manière plus directe et plus générale, surtout dans le point de vue où nous l'envisageons ici, relativement à la résolution générale des équations.

Je ferai voir ensuite quelles sont les conditions nécessaires pour que l'équation dont il s'agit puisse admettre la résolution en supposant uniquement celle des équations des degrés inférieurs à celui de l'équation proposée; et je donnerai à cette occasion les vrais principes et, pour ainsi dire, la métaphysique de la résolution des équations du troisième et du quatrième degré.

Je traiterai enfin en peu de mots de la réduction des équations qui peuvent se décomposer en d'autres plus simples à cause de quelque rela-

tion particulière qu'il y a entre leurs racines, et je montrerai par quelques exemples comment, on peut découvrir ces relations, et abaisser par là les équations proposées à des degrés moindres.

88. Nous ne considérerons ici que des fonctions rationnelles, et nous désignerons ces fonctions en général par la caractéristique/.

Ainsi /[(a?)] signifiera une fonction quelconque rationnelle de x; f[{x) (y)] signifiera une fonction quelconque rationnelle de x et y; , f[{x) (y) (z)], une fonction quelconque rationnelle de x, y, z, et ainsi des autres.

Si dans une fonction donnée f[{x) (y)] on a y = x, en sorte qu'il en résulte une simple fonction de x, au lieu de dénoter cette fonction par f[{x)(x)], nous la désignerons pour plus de simplicité par /[(a?)2]; pareillement, si dans la fonction donnée/[(a;) (y) (z)-J on fait j = x, on dénotera la fonction résultante de x et z par/[(a;)2 (z)], et, si l'on fait en même temps a? = j = z, on aura une simple fonction de x qu'on désignera par /[{xV], et ainsi des autres.

De plus, lorsqu'on voudra représenter une fonction de x et y, par exemple, telle qu'elle demeure la même en échangeant x en y, c'est-àdire une fonction f[(x) (y)] telle, que l'on ait f[{x) (y)] =/[(y) (x)], nous la désignerons simplement par f{{x, y)]. De même on désignera par/ [(a?, y, z)] toute fonction de x, y et z telle, qu'elle ne change point en échangeant les quantités x, y, z entre elles d'une manière quelconque. Ainsi /[(x, y) (z)] dénotera une fonction rationnelle de x, y, z telle, qu'elle demeure la même en échangeant x en y sans toucher à la quantité z, et ainsi de suite.

Mais si l'on avait une fonction de x, y, z et u telle, qu'elle demeurât la même en échangeant à la fois x en z et y en u, on la dénoterait par f[{x) (y), (z) (u)] ; et si cette fonction demeurait aussi la même en échangeant simplement x en y, ou z en u, on la désignerait alors par f[(x,y),{z,u)}.

Enfin, si l'on a plusieurs fonctions des mêmes quantités, on appellera fonctions semblables celles qui varient en même temps ou demeurent les

mêmes lorsqu'on y fait les mêmes permutations entre les quantités dont elles sont composées, de manière qu'elles puissent être désignées d'une manière analogue. Ainsi prenant les caractéristiques / et <p pour désigner des fonctions différentes, les fonctions /[(oc) (y)] et <p[(oc)(y)] seront semblables, ainsi que les fonctions /[(oc, y)], y [(oc, y)], et ainsi des autres.

89. Nous supposerons, comme dans la Section précédente, que l'équation proposée soit représentée généralement par

X* -+- mx^~' -h nx^~2 -f- px^~3 -f- . . . = o,

et que ses racines, qui doivent être au nombre de p., soient désignées par oc', oc", x" ' , oclv, ..., xw.

Ainsi l'on aura, par la nature des équations,

Et il est clair que ces fonctions de x', x", x'", oc",..., par lesquelles sont exprimées les quantités m, n, p,..., seront nécessairement toutes de la forme/ [(a;', x", x'", xlv, ...)], et que par conséquent ces fonctions seront toutes semblables, ce qui est une propriété fondamentale des équations.

90. Cela posé, pour commencer par les cas les plus simples, supposons que l'équation proposée ne soit que du second degré, et qu'on demande l'équation par laquelle devra être déterminée la fonction

Je fais t=/[(x')(x")] en sorte que t soit l'inconnue de l'équation cherchée, et comme x' et x" sont déterminées l'une et l'autre par la même équation

x- -1- mx-i- n = o,

je mets, pour plus de généralité, x à la place de x' et y à la place de x";

j'aurai ainsi l'équation

d'où il s'agira de chasser x et y par le moyen des deux équations

x% -+- mx h- 7i = o, y"- -f- my -+- « — p.

Soit

on chassera d'abord a? de l'équation X = o par le moyen de l'équation a?'2 -i- mx-h n = o, ce qui donnera une- équation que je désignerai par Y = o, et dans laquelle Y sera une fonction rationnelle des quantités t, m, n et y. On chassera ensuite/ de cette dernière équation par le moyen de l'autre équation y2 + my ■+- n = o, et l'on aura l'équation finale T = o, où T sera une fonction rationnelle de t, m et n.

Je remarque maintenant que puisque les racines de l'équation

x2 -+- mx -+-«:= o

sont x' et x", si l'on désigne par. X' et X" les valeurs de X qui viennent de la substitution de ces racines à la place de x, on aura (par ce qui a été démontré dans le n° 13 de la Section I)

Et de même, à cause que x' et x" sont aussi les racines de l'équation y * j my ( n = o, si l'on désigne par Y' et Y" les valeurs de Y qui résulteront de la substitution de x' et x" à la place de y, on aura

Or on a

donc et de là

donc on aura

T=[t-f[(x')(x")}]x[l-fl(x")(x')}]x[t-fl(x'r]]x[t-f[[X"f]].

Or, si l'on considère ]afonction/[(#)2] et qu'on fasse t —f[{x)2} = |; qu'on élimine ensuite x de l'équation S, = o, par le moyen de l'équation x2 + mx 4- n == o , on aura l'équation S = o , où ô sera une fonction rationnelle de t et de m, n. Et désignant par £,' et S," les valeurs de '% qui résultent de la substitution de x', x" à la place de x, on aura

Mais on a

donc .

Faisons

et l'on aura T = 06, et par conséquent 0 = g -, de sorte que, comme T

et d sont des fonctions rationnelles de t, m et n, il est clair que 0 sera aussi une fonction rationnelle de t, m, n.

Ainsi l'équation T = o pourra se décomposer en ces deux-ci ô = o et 0 = o; et comme la première est celle qui donne la valeur de/[(x)2], il s'ensuit que la détermination de la fonction proposée f[{x') {x")] dépendra uniquement de l'autre équation 0 = o.

Donc, pour trouver cette équation 0 = o qui résout le Problème, il n'y aura qu'à éliminer des équations

les inconnues x et y par le moyen des équations

x* -+- mx -t- n = o,