MC:CD = DB:BN

mais, puisque M'N' doit être égal à MN, que CD = DB, il est facile de voir qu'on aura aussi M'C = BN; donc on aura cette proportion

x' : a = a: x'', c'est-à-dire

On pourrait d'abord conclure, par le principe de la raison suffisante, qu'une pareille relation doit aussi avoir lieu entre les deux autres racines jcT^x1"; mais, si l'on voulait s'en convaincre à posteriori, il n'y aurait qu'à considérer qu'à cause de M"N"=N'"M'" on aura nécessairement aussi CM'"= BN"; et qu'ensuite, à cause des triangles semblables DCM", DBN", on aura CM": CD = DB.BN '= DB:CM"', c'est-à-dire

et par conséquent

x'"xty — a2= o.

Puis donc qu'on a deux équations semblables, l'une entre x', x", l'autre en x'", xlv, et que ces équations subsistent également en changeant x' en x", x'" en xlv, il s'ensuit des principes établis plus haut que l'équation du quatrième degré, trouvée ci-dessus, sera nécessairement décomposable en deux équations du second degré, telles que

x* —fx -+. g' = o,

où/' et/" seront racines d'une équation du second degré, ainsi que g' et g"; mais, puisque g'=x'x" et g"=x'"xIV, on aura g'= g"=a2; par conséquent les deux facteurs de l'équation dont il s'agit seront

Qu'on en fasse doue le produit, on aura

x'— {f'-\-f")x3+ {/'/"+ 2a2 )x2 — a2 ( /' H- /" ) x -+- a' = o; donc

/'+/"=-2«, /'/"+ 2tf2= 2«2— è2;

par conséquent

de sorte que l'équation qui aura pour racines les quantités/' et/" sera

f>-h7.af-b2 = o.

Au reste, il est clair que si, dans l'équation en x du quatrième degré, on fait x = az, on aura une équation en s du genre des réciproques, et dans laquelle on pourra, par conséquent, faire disparaître toutes les puissances impaires de l'inconnue en faisant z = - — -; de sorte que la sub-

stitution propre pour cet effet sera de faire d'abord x = — Si l'on tire la valeur de y de cette équation, on a

y-a2-f- x2 __ MD

donc on aura

a-hx b MN'