Etant donné le produit continuel

(x -h 1) (x -+- 2) {x + 3) (x -t- 4)- ■ -[x + n— 1), on propose de le développer suivant les puissances de x.

Il est visible qu'on aura

et pour déterminer facilement les coefficients A', A", A'",..., on remarquera que l'équation précédente devant être identique subsistera égale-

nient en y mettant x-\- i à la place de x; c'est pourquoi on aura aussi

donc, multipliant toute cette équation par x -t- i , et la comparant ensuite à la précédente multipliée par x -+- n, on en tirera celle-ci

{sc + n) (a;"-' -l- A'a;"-2 -+- A" a:'—3 -+- A^a?"-' +. • .-t- A("~l))

c'est-à-dire, en développant les termes et les ordonnant par rapport à x,

x" -t- ( n ■+- A' ) xn-' -h (ra A' -f- A" ) a?"-2 -+- ( «A" -+- A'" ) a:"-3 -t- . . .

Vnin — i) , . . , . „~|

= a^ + (n + A) a:"-1 -t- -^ -*- ( re — i ) A' -t- A" x"-2

[re(re — i)(ra— 2) (« — 1) (ra — 2) ., , ... .71 — 1 ^ + ^ — ■ A' -+- (n — 2 ) A" -4- A'" a?"-3 -1- 2.3 2

Donc, puisque cette équation est identique, on aura, en comparant terme à terme,

nk'-hA"=n{n~l] +(«-i)" A' -+■ A",

... .... re(ra — i)(ra— 2) (ra — 1)(« — 2) .. , ( .„

bA"+ A"'= — '-+ ' + " A' -t- n — 2 A" + A"',

n (ra — 1)

„ n{n — 1 ) ( ra — 2) ( » — i)(n — 2)

■z K,„ njn — 1 ) ( « — 2 ) ( ra — 3) (n — i)(ra — 2)(ra — 3) (n— 2)(ra— .3) •

jA — ô 7 ~t 0 A H A ,

et ainsi de suite.

Corollaire.

3. Il est clair, par la théorie des équations, que les coefficients A', A", A'",... ne sont autre chose que les sommes des nombres naturels i, 2, 3, . . . jusqu'à n — 1 inclusivement, des produits de ces nombres multipliés deux à deux, trois à trois, etc.; en sorte que le dernier coefficient A'"-1' sera égal au produit 1.2.3.4. • •(« — 1); ainsi tous les nombres A', A", A'",... seront nécessairement entiers.

Théorème.

4. Les mêmes choses étant posées que dans le Lemme précédent, je dis que, si n est un nombre premier, les nombres A', A", A"', . . . jusqu'à A("2) inclusivement, sont tous divisibles par n, et que le dernier nombre A("-,) sera divisible par n, étant augmenté de l'unité.

On sait que les expressions

n(n — i) n(n — i)(n — 2) (ra — i)(m— 2) (.« — 1)(» — 2}(« — 3)

dénotent toujours des nombres entiers, tant que n est un nombre entier; puisque ce sont les coefficients du binôme élevé à la puissance n, ou n — 1, ou, etc. De plus il est clair que, si n est un nombre premier, les

nombres

seront tous divisibles par n, à l'exception seulement du dernier nombre

qui est égal à l'unité; car il est visible que le numérateur de chacun de ces nombres est divisible par n, et que le dénominateur ne l'est pas, tant que n est premier; d'où il s'ensuit qu'après avoir divisé le numérateur

par le dénominateur, il restera nécessairement dans le quotient le facteur n.

De là et des formules du Lemme précédent il est facile de conclure : i° Que A' sera divisible par n, que 2A" le sera aussi, et de même 3A"', 4A'\... jusqu'à (n— 2)A!*~2); et que par conséquent les nombres A', A", A'",... , A("-2) que nous avons vu devoir être toujours entiers (3), seront eux-mêmes toujours divisibles par n, au moins tant que n sera premier;

20 Que le nombre A(",) étant augmenté de l'unité sera divisible par n; car la formule qui servira à déterminer sa valeur sera

{n — i ) ( « — 2 ) . . . 1 (m — 2 ) ( ra — 3 ) . . . i

c'est-à-dire

( 71 — 1 ) A("-'> = 1 -4- A' -+- A" ■+■ A'" + . . . -t- A'"-2) ; donc

A(»-0 + 1 = 7iA<»-'> - A' — A"- A'" - ... - A<»-2) ;

donc, puisque A', A",..., A("~2) sont tous divisibles par n, il s'ensuit que \("-<) | j sera toujours divisible par n.

Corollaire 1.