Donc (3) le nombre

sera toujours divisible par n, lorsque n sera un nombre premier, ce qui est le Théorème qu'il s'agissait de démontrer.

En général, il s'ensuit de la formule du n° 2 que, quel que soit le nombre entier x, on aura toujours

divisible par n, tant que n sera un nombre premier.

Donc :

i° Si x"~' est divisible par n, ce qui ne peut arriver que lorsque x est égal à zéro ou égal à un multiple de n, le nombre

sera toujours divisible par n; ce qui donne le Théorème de M. Wilson en faisant x = o.

2° Si x n'est ni nul ni divisible par n, ce qui arrive lorsque x — pn-i-p, p étant un nombre quelconque entier moindre que n, il est clair que quelqu'un des nombres

x-h-i, x -+■ i, x-hS,..., x -h n — i

sera nécessairement divisible par n, et que le produit

sera par conséquent toujours divisible par n; donc — x""{ -+- 1, ou bien x""1 — 1 sera dans ce cas toujours divisible par n; ce qui est le fameux Théorème de Fermât dont M. Euler a donné plusieurs démonstrations dans les Commentaires de Pétersbour g. La nôtre a, comme on voit, l'avantage de faire voir la liaison et la dépendance mutuelle des deux Théorèmes dont il s'agit.

Corollaire II.