Puisque

étant divisés par n donnent pour restes

on pourra mettre ces restes à la place des nombres n — 1, n — 2,... dans la formule

et l'on aura les formules suivantes

1.2.3. . . (n — i) -Ki, 1.2.3. . . ( n — 2 ) -*■ i , i .2!.3. . .(m—3)4-i, i.22.32.4---(ft — 4) — •»

qui seront toutes divisibles par n\ donc aussi

sera divisible par n, le signe supérieur ayant lieu lorsque — — est un nombre pair, et l'inférieur lorsque est impair.

i° Soit = 2m, et par conséquent n = t\m -+- 1; dans ce cas

(i.2.3...2m)! + [ sera divisible par n .

Ainsi l'on aura une somme de deux carrés qui sera divisible par 4 m h- i lorsque ce nombre sera premier; c'est ce qu'on n'avait pu trouver jusqu'à présent d'une manière générale; seulement on avait pu prouver, d'une manière même assez indirecte, qu'il existait toujours une pareille somme divisible par n lorsque n était de la forme 4 ni -+- 1 (voyez le tome V des Nouveaux Mémoires de Pétersbourg).

2° Soit = 2W — i , et par conséquent n= [\m — i ; dans ce cas

[i.2.3...(2m — i)]2 — i sera divisible par n.

Mais [i.2.3...(2m — i)]!-i = [i.2.3...(2ffl — i) 4- 1] [i .2.3. . .{int — i) — i]; donc, puisque n est un nombre premier, il faudra que l'un ou l'autre des

deux facteurs

i . 2 . 3 . . . ( 2 m — i ; -r i ou i , i , 3 . . . ( i m — i ) — i ,

soit divisible par n; donc

sera nécessairement divisible par n.

Remarque 1.

7. Les propositions des Corollaires précédents sont d'autant plus remarquables que, si n n'était pas premier, les nombres que nous avons vu devoir être divisibles par n, dans l'hypothèse de n premier, ne le seraient plus. Car, si n n'est pas un nombre premier, il sera donc divisible par quelqu'un des nombres 2, 3,..., n — 1 moindres que n; donc, si