n — ii + i

était divisible par n, il faudrait qu'il le fût aussi par quelqu'un des nombres 2, 3, 4*---» n — j; or c'est ce qui ne se peut; car le nombre 1.2.3.'. .(n — 1) étant divisible par chacun de ces nombres, il est clair qu'en divisant par un quelconque d'eux le nombre

on aura toujours l'unité pour reste.

On peut donc tirer de là une méthode directe pour reconnaître si un nombre quelconque impair n est premier ou non; il n'y aura qu'à voir si le produit continuel des nombres 2, 3, l\,..., n — 2, étant divisé par n, donne 1 pour reste, alors le nombre sera premier; sinon, il ne le sera pas. On peut encore simplifier cette règle en distinguant les deux cas où n est de la forme l\m -+- 1 ou de la forme l\m — 1 ; dans le premier cas, le nombre n sera premier, si le carré du produit continuel des nombres 2, 3, l\,..., 2 m étant divisé par n donne — 1 ou n — 1 pour reste; et dans le second, si le produit continuel des nombres 2, 3, 4>---> 2m — 1 étant divisé par n donne 1 ou — 1 pour reste: sinon, n ne sera pas premier.

J'avoue au reste que cette méthode devient extrêmement laborieuse, et presque impraticable, lorsque n est un très-grand nombre; mais il peut y avoir des moyens d'en simplifier la pratique, et c'est une recherche à laquelle nous invitons les Géomètres.

Remarque II.

8. On pourrait déduire du théorème de-M. Fermât une autre démonstration de celui de M. Wilson beaucoup plus simple que celle que nous en avons donnée ci-dessus.

Car, si l'on considère la suite des nombres naturels 1,2, 3..., n, élevés à la puissance (n — iyème, et qu'on cherche la différence (n — \)leme des termes de cette suite , il est facile de voir, par la théorie des différences, qu'elle sera

(n — i)(w— 2)(ra— 3) ,

d'autre part, comme la série

est une série algébrique de l'ordre (n — \)ième, on sait que la différence du même ordre sera exprimée par le produit continuel des nombres 1,2, 3,..., re — 1; ainsi l'on aura l'équation

i.2.3.4...(«— 1) = «"-' — (n — i)(n — i)"-1 + (re~')(re~ — (w— a)"-'

(ra — i)(re— 2)(«— 3) ■

Supposons maintenant qu'on divise le second membre de cette équation par n, et qu'on ne veuille tenir compte que du reste qui en proviendra; il est d'abord clair que le terme nn 1 donnera pour reste o, et que les termes (n — 1)"~\ (n— 2)"-' ,... donneront tous l'unité pour reste, par le théorème de M. Fermât; donc, mettant à la place de ces termes III. 55

leurs restes o, i, i,..., on aura le reste total

ou bien

(1 — i)"-' — 1, c'est-à-dire — 1;

ainsi le reste de la division de 1.2. 3. . .(n — 1) par n sera — 1, et par

conséquent

sera toujours divisible par n, pourvu que n soit premier; condition nécessaire pour l'exactitude du théorème de M. Fermât.

Remarque III.

9. Avant de quitter cette matière, nous croyons devoir démontrer encore quelques autres théorèmes sur les nombres premiers, qu'on trouve aussi sans démonstration dans le même Ouvrage de M. Waring, et qui peuvent être de quelque utilité dans la construction des Tables des nombres premiers.

1 ° Si trois nombres premiers sont en progression arithmétique , leur différence doit être divisible par 6, à moins que l'un de ces trois nombres ne soit égal à 3.

Tout nombre entier quelconque peut être représenté par l'une de ces

formules

6m, 6m±i, 6/n rh 2, 6m±3;

les deux formules 6m et 6m ± 2 donnent tous les nombres pairs, et les deux autres 6m ± 1 , 6m ± 3 donnent tous les nombres impairs; mais fei dernière, étant divisible par 3, ne peut représenter d'autres nombres premiers que le seul nombre 3; donc tout nombre premier sera ou 3 ou 6m ± 1 .

Cela posé, soient

les trois nombres en progression arithmétique qu'on suppose premiers; et en excluant d'abord le nombre 3 de la progression, il faudra que chacun de ces nombres soit de la forme 6m ± i; d'autre part, il est clair que la différence a doit être un nombre pair, et par conséquent d'une de ces deux formes 6n ou 6n ± 2; soit donc, s'il est possible, a = 6n ± 2, et prenons d'abord p — 6m h- 1 , on aura

p + a = 6 ( m ■+- n) -+- 3 ou = 6 ( m -1- « ) — i

et

p — a = 6(m — n) — 1 ou = 6 (m — ;i) + 3;

ainsi il est impossible que p -+- a et p — a soient à la fois de la forme 6p. ± 1 ; prenons ensuite p = 6m — 1 , on aura

p-{-a = 6(m. +«) + i ou =6(m + ra) — 3

et

p — a = 6 [m — n) — 3 ou = 6 ( m — n) -+- 1 ;

d'où l'on voit que p -h a et p — a ne pourront pas être a la fois de la forme 6^ ± r; donc il est impossible que a soit de la forme 6n ± 2; par conséquent il faudra que a soit toujours de la forme 6n, c'est-à-dire divisible par 6.

Si l'on voulait admettre le nombre 3 pour un des termes de la progression, alors la différence pourrait être de la forme 6n ± 2. Supposons d'abord que 3 soit le premier terme de la progression; le second se trouvera de la forme 6n ±2 + 3 ou 6n± 1, et le troisième de la forme I2/Î + 4 + 3 ou 6n ± 1; ainsi ils pourront être tous les trois premiers; mais si l'on y en ajoutait un quatrième, celui-ci ne pourrait jamais être premier, car sa forme serait i8n±6-i-3, qui est divisible par 3. On pourra, par exemple, former ces progressions de trois termes 3, 5, 7, ou 3, 7, 11, ou 3, 11, 19, etc.; donc les différences ne seront pas divisibles par 6; mais ces progressions ne pourront jamais aller au delà de trois termes.

Si l'on prend 3 pour le second terme de la progression, alors le premier ne pourra être que 1 , et le troisième sera 5 ; dans ce cas, on y pourra

ajouter un quatrième terme qui sera 7; mais on ne pourrait pas aller au ilelà, parce que le suivant g ne serait plus premier.

On ne pourrait pas prendre 3 pour le troisième terme, car les deux premiers ne pourraient être alors que 1 et 2; or celui-ci peut n'être pas regardé comme un nombre premier à cause qu'il est pair.

20 Si cinq nombres premiers sont en progression arithmétique, leur différence doit être divisible par 3o, à moins que 5 ne soit l'un des termes de cette progression .

Nous avons déjà vu que tout nombre premier doit être 3 ou 6m ± 1 ; nous avons vu de plus que, si 3 est un des termes de la progression arithmétique, il est impossible qu'elle ait plus de quatre termes qui soient des nombres premiers; donc il faudra que les cinq termes de la progression proposée soient chacun de la forme 6m zbi. Or, m pouvant être un nombre quelconque entier, il sera nécessairement d'une de ces formes

5p., 5p: zhi, 5pi zh 2,

qui renferment évidemment tous les nombres possibles; donc, substituant ces formules à la place de m, on aura les suivantes

3opi zhi, 3opi±5, 3opi ±7, 3opi zhn, 3opi±i3,

dont la seconde ne peut donner d'autres nombres premiers que 5; de sorte qu'en faisant abstraction, suivant l'hypothèse, du nombre 5, il faudra que les cinq termes de la progression soient renfermés dans ces quatre formules

3opizhi, 3opi ±7, 3opi ±11, 3opi zhi3.

Maintenant nous avons déjà vu que la différence de la progression ne peut être que de la forme 6n; or n peut être aussi de ces formes

5v, 5v zh 1, 5y z!z 2;

donc la forme 6n se réduira à celles-ci

3oy, 3ovzt6, 3ovzti2.

Donc, si l'on désigne par

p — ia, p — a, p, p -+- a, p -+- ia,

les cinq termes en progression arithmétique qu'on suppose être premiers entre eux, ces termes devront être tous de ces formes

3o/xrbi, 3of*±7, 3ofjt±n, 3op.±i3,

et la différence a ne pourra être que de celles-ci

3ov, 3ov±6, 3ov±:i3.

Supposons d'abord p de la forme 3op. -t- i, et soit, s'il est possible, a de la forme 3ov ± 6, on aura

p -+- a = 3o(jh. -+- v) +7 ou 3o(p. + i/) — 5,

p + 2fl = 3o(f/. -t- 2V) -t- i3 ou 3o(/x + 2V) — II,

p — a = 3o {y. — v) — 5 ou 3o(p — v)+7,

p — 2a—3o([j. — 2v) — ii ou 3o(ju. — 2v) + i3;

d'où l'on voit qu'il est impossible que les cinq nombres

p, p -+- a, p ■+■ ia, p — a, p — m.a

aient à la fois les formes requises.

On trouvera la même impossibilité en prenant les autres formes de p;

d'où l'on conclura d'abord que a ne saurait être de la forme 3ov ± 6; on

supposera ensuite a = 3ov ± ia, et, examinant successivement toutes les

formes de p, on verra aussi qu'aucune d'elles ne pourra donner pour les

autres nombres

p -+- a, p -+- ia, p — a, p — ia,

les formes requises; d'où il s'ensuit que la différence a ne pourra jamais être ni de la forme 3ov =t 6, ni de celle-ci 3o v ±12; par conséquent elle devra être nécessairement de la forme 3ov, c'est-à-dire divisible par 3o. Si Tonne veut pas exclure le nombre 5 de la progression, il est d'abord clair que ce nombre ne pourra être pris que pour le-premier terme, puis-

que la différence des termes devant être divisible par 6 ne pourra pas être moindre que 6; or, prenant 5 pour le premier terme, et faisant d'abord la différence égale à 3ov ± 6, on aura pour le second terme la forme 3ov ± 6 -i- 5, ou bien 3ov -+- 1 1 ou 3ov — i ; pour le troisième terme les formes 6ov±i2-h5, ou bien 3ov — 13, ou 3ov — 7; pour le quatrième, les formes 90 v ± 18 -1- 5, ou bien 3ov — 7, ou 3ov — 13; et pour le cinquième, nov ± 24 -+- 5, ou bien 3ov — i, ou 3ov -+- 11 . Ainsi tous les cinq termes auront les formes requises et pourront par conséquent être premiers; mais si l'on voulait y en joindre un sixième, alors on aurait la forme i5ov±3o + 5, qui, étant divisible par 5, ne peut pas' donner des nombres premiers. On trouverait des résultats semblables en adoptant la forme 3ov ± 12 pour la différence de la progression : d'où l'on doit conclure que si 5 est le premier terme de la progression, alors il pourra y avoir cinq nombres premiers en progression arithmétique, et dont la différence ne soit pas divisible par 3o, mais qu'il ne pourra jamais y en avoir plus de cinq.

On aura, par exemple, les nombres 5, 11, 17, 23, 29, ou 5, 17, 29, 4i, 53, etc.; mais les sixièmes termes 35, 65, etc., ne seraient plus premiers.

3° On peut démontrer par une analyse semblable que, si sept nombres premiers sont en progression arithmétique . leur différence sera nécessairement divisible par 2.3.5.7, ^ moins que 7 ne soit le premier terme de la progression, auquel cas il ne pourra jamais y avoir plus de sept termes dans une progression dont la différence ne serait pas divisible par 2.3.5.7, et ainsi de suite.