A LA DIFFERENCIATION ET A L'INTÉGRATION DES QUANTITÉS VARIABLES
! Nouveaux Mémoire!: de l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1772.)
Leibnitz a donné, dans le premier volume des Misceltanea Berolinensia , un Mémoire intitulé : Symbolismus memorabilis calculi algebraici, et infinitesimalis in comparatione potentiarum et differeniiarum, etc., dans lequel il fait voir l'analogie qui règne entre les différentielles de tous les ordres du produit de deux ou de plusieurs variables, et les puissances des mêmes ordres du binôme ou du polynôme composé de la somme de ces mêmes variables. Ce grand Géomètre a aussi remarqué ailleurs que la même analogie subsistait entre les puissances négatives et les intégrales {voyez le Commercium epistolicum, Epist. XVIII); mais ni lui ni aucun autre que je sache n'a poussé plus loin ces sortes de recherches, si l'on en excepte seulement M. Jean Bernoulli, qui, dans la Lettre XIV du Commercium cité, a montré comment on pouvait dans certains cas trouver l'intégrale d'une différentielle donnée en cherchant la troisième proportionnelle à la différence de la quantité donnée et à cette même quantité, et changeant ensuite les puissances positives en différences, et les négatives en sommes ou intégrales. Quoique le principe de cette analogie entre les III. 56
puissances positives et les différentielles, et les puissances- négatives et les intégrales, ne soit pas évident par lui-même, cependant, comme les conclusions qu'on en tire n'en sont pas moins exactes, ainsi qu'on peut s'en convaincre à posteriori, je vais en faire usage dans ce Mémoire pour découvrir différents Théorèmes généraux concernant les différentiations et les intégrations des fonctions de plusieurs variables, Théorèmes dont la plupart sont nouveaux, et auxquels il serait d'ailleurs très-difficile de parvenir par d'autres voies.
C'est une espèce particulière de calcul qu'i me parait mériter d'être cultivée et qui peut donner lieu à beaucoup de découvertes utiles et importantes dans l'Analyse; l'objet principal de ce Mémoire est de donner plusieurs ouvertures pour cela, en montrant les règles qu'on doit suivre dans ce calcul et la manière de l'appliquer à différentes recherches; mais je crois devoir commencer par établir quelques notions générales et préliminaires sur la nature des fonctions d'une ou de plusieurs variables, lesquelles pourraient servir d'introduction à une théorie générale des fonctions.
t. Si m est une fonction quelconque finie d'une variable x, qu'on y mette x -t- S, à la place de x, et que par la théorie connue des séries on dégage la nouvelle variable ï- de la fonction, on sait que u deviendra de cette forme
où p, p' , />",... seront de nouvelles fonctions de x, dérivées d'une certaine manière de la fonction u.
2. Si u est une fonction de deux variables x, y, qu'on y mette x-\-£, à la place de x, y ■+- é à la place de y, qu'ensuite on dégage les quantités %, <b par le moyen des séries, la fonction u deviendra de la forme
u -+- p 1+ q^ -+- p l; -t- q' l | + /•' if:
+ p" i3 -h q" i-2 1 -h /•" \ if' + *" V
A LA DIFFERENT1ATI0N ET À L'INTEGRATION. W3
où p, q, p , q', r', p", q",... seront de nouvelles fonctions de x, y dérivées d'une certaine manière de la fonction u.
De même, si u était fonction de trois variables x, y, z, en mettant x -F S,, y -+- è, z -+- 'Ç à la place de x, y, z, et développant par les séries, cette fonction deviendrait de la forme
ii ■+■ p X + q ty -+- r K
et ainsi de suite, si la fonction u. renfermait quatre variables, ou cinq, etc.
3. Le Calcul différentiel , considéré dans toute sa généralité, consiste à trouver directement, et par des procédés simples et faciles, les fonctions p, p' , p" q, q ', q",..., r, r', r",.. . dérivées de la fonction u; et
le Calcul intégral consiste à retrouver la fonction u par le moyen de ces dernières fonctions.
Cette notion des Calculs différentiel et intégral me paraît la plus claire et la plus simple qu'on ait encore donnée; elle est, comme on voit, indépendante de toute métaphysique et de toute théorie des quantités infiniment petites ou évanouissantes.
4. Considérons plus particulièrement le cas du n° 1 , où u est supposé une fonction de x seul , et voyons comment les fonctions u, p, p\ p",.., dépendent les unes des autres.
Puisque la fonction u, en y mettant x-+- S à la place de x, est devenue
u -+- p X -+■ p' X1 -+- p" Xz -+- ■ ■ ■ >
si dans cette dernière fonction on met de nouveau x -h w k la place de x, il est clair qu'elle deviendra de la forme
Il -+- J9M -f- /?'ù)2-t- p"'J>3-\- p'"(>i''-h . . .
-t- (p -4- moi -+- pr>r -I- cro3 -t- . . . )Ë -+- {p' -+- td'm -+- p'«2 -I- ct'm3 -+-'...) E2
+ < p" ■+- Bj"w + p"&)2 -h !T"M3-f- . . . ) H3
kkk NOUVELLE ESPÈCE DE CALCUL RELATIF
où zs, p, a,... seront des fonctions de x dérivées de la fonction p de la même manière que p, p ' , p",... le sont de la fonction u, et zs', p', a',... seront des fonctions dérivées de même de la fonction p', et zs", p", a",... des fonctions dérivées de p", et ainsi des autres.
D'un autre côté, il est facile de voir que l'expression précédente ne sera autre chose que ce que devient la fonction u en y mettant à la fois x + £ + w à la place de x, ou bien ce que devient l'expression
» + ^+P'? + /'"? + p'"^ ■+- • ■ ■ en y mettant £ -+- oj à la place de |, c'est-à-dire
Or, en développant les puissances de £ -+- w et ordonnant les termes, on aura
-+- (p H- zp'u + 3p"a>2 -t- 4/?'" w3 + • ■ • ) i 4- (p1 + 3/?"w -+- 6p'"(ù2 -t- io/>ivco3 + . . . ) ?2
-f- (p" + ^p'"o> -\- I0ptv(û2 -i- 2OpvC03 +. . . )?'
Donc, comme celte formule doit être identique avec la précédente, on aura
w = ip' , p = ip", a = 4/>"', • • • , ni' = 3jo", p' = 6/>"', ff' = io/>IV, . . . ,
5j"= 4/,'"> p"=IO^>IV, !7"= 20pv, . . . ,
Donc
Or, de la même manière que p est dérivé de u, zs l'est de p, zs' l'est de/?', zs" l'est de/j", et ainsi de suite; donc, si l'on fait p = w', et qu'on désigne de même par u" une fonction dérivée de u' de la même manière que a' l'est de u, et par u!" une fonction dérivée de même de u", et ainsi de suite, on
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p = u, 73— u, donc p = — ■>
donc m — — ? donc »= — ^
donc bt = — ^j donc » = — ^— 7?
Ainsi la fonction m deviendra, en mettant x + £ à la place de a;,
M" £2 m'" £3 WIV £4
où les fonctions u, u', u", u", uIV,... dérivent l'une de l'autre par une même loi, de sorte qu'on pourra les trouver aisément par une même opération répétée.
5. Si maintenant on suppose que u soit une fonction de deux variables x et y, et qu'on cherche ce qu'elle devient en y mettant à la fois x -+-£ à la place de xety-hty à la place de y, on fera d'abord la première de ces deux substitutions, ce qui réduira la fonction u a celle-ci (4)
ensuite on fera la substitution de j-f- <f à la place de y dans les fonctions u, u', u", u",..., et elles se changeront, savoir
. , u'" <b- «'"'d/3 u en u -+- w' y h 1 1 i — h . . . ,
, , , u''-" û/2 u''"' <]/ ?« en u -+- m ' ip H —
m" en w" h- w"''i|;-
/''"ijj2 w"'"' il;3
Ainsi la fonction u deviendra, après les deux substitutions dont il s'agit,
w'"H3 «"''£2di w''"£i!>2 «'"'d;3
Les accents qui sont avant la virgule se rapportent au changement de x en x-h %, et ceux qui sont après la virgule se rapportent au changement de y en v-h d>.
En général, si u est une fonction de x, y, s, t et qu'on y mette, à
la place de ces variables, a>.-+-£, y + ty, s + Ç, t-hô la fonction donl
il s'agit deviendra u plus un nombre indéfini de termes, tels que
I . 2 . 3 . . . fJ- X I . 2 . 3 . . . V X I . 2 • 3 . . . 55 X I ■ 2 • 3 1 . . . p X . . .
p., v, w, p étant supposés successivement o, i, 2, 3, —
6. Puisqu'en mettant x-h£> à la place de x dans u, cette fonction devient
si l'on regarde £ comme infiniment petit et qu'on néglige les puissances %2, £3,..., on aura simplement u'B pour l'accroissement de m; de sorte que, désignant cet accroissement par du, et l'accroissement H de x par rte, on aura
1,1 / du
du = uax et « = — — ; f/.r
ainsi, pour avoir la fonction u, il n'y aura qu'à chercher la différentielle du par les règles du calcul des infiniment petits, et la diviser ensuite par la différentielle dx.
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Avant «'=-=-, on aura de même
" dx
, du j^u
„ dx d*u m dx2 d3u
dx dx' dx dx3
de sorte que x devenant x + |, la fonction u deviendra
du . d7u £2 d3u '£> dx dx'1 i dx3 a. 3
où du, d2u, d3u,... désignent les différences première, seconde, troisième, etc., de u prises en faisant varier x de la différence infiniment petite dx.
Ce Théorème est connu depuis longtemps, et M. Taylor en est, si je ne me trompe, le premier Auteur; on peut le démontrer de différentes manières; la précédente me parait une des plus simples.
7. Si, au lieu de faire varier x, on fait varier y dans la supposition que u soit une fonction de x et de y, on aura de même
du = w' dy,
et de là
du
dy
donc
dy- dy3
Par le même principe on aura
. du du' dx d'-u
dy dy dx dy
où d'-u indique la différentielle seconde de u, en faisant varier d'abord x, ensuite y; or, comme les variations de x et de y sont indépendantes l'une de l'autre, il est facile de comprendre qu'on aura également
, du
, , dw' dy d'-u
dx dx dydx
où d2u exprime maintenant la différentielle seconde de u prise en faisant varier d'abord y et ensuite x, de sorte qu'on aura
d-u dïu
dxdy dydx
ce qui montre qu'il est indifférent dans quel ordre soient écrites les différences dx, dy. En général donc on aura
UM' M = -, ï— ,
dx* dy"
où d^'u indiquera la différentielle [\l-\- v)ième de u prise en faisant varier p. fois a; et v fois y, quelque ordre qu'on suive d'ailleurs dans ces variations; de sorte qu'il y aura autant de manières différentes de trouver
la valeur de , , v qu'il y aura de permutations entre deux choses différentes répétées l'une \i fois, l'autre v fois; or le nombre de ces permutations est, comme on sait, égal à
[,2,3...(iXi.2.3..j Et si u est une fonction de plusieurs variables x, y, z, t,..., on aura
dx* dy" dz* dt'< . . .
et cette fonction pourra se produire d'autant de manières différentes qu'il y aura de permutations entre différentes choses dont l'une serait répétée ;j. fois, l'autre v fois, la troisième w fois, la quatrième p fois, etc.; en sorte que par les règles connues le nombre dont il s'agit sera
