Exemple IV. — Soit l'équation générale

« — bx -+■ ex'1 — f/x3 -+- ex' — /à:5 -f- . . . = o ; on aura

bx'i — ex- — d x* -+- ex4 — fxb -t- . . . ,

et, par conséquent,

ex — dx1 -+■ ex1* — fx* -+- . . .

c-x- — icdx* ■+■ {d1 -+- 2 ce)

c3ic3 — Scdx* -+- . . .

Donc

a'"+'c am+-d rt"'+3e a'"+''f

mr(m + 3)a",Hc1 (m + 4)«'"+3-2CC? ^ (m -f-5)a'"+<(af2+ ace)

m nm + S){m-i-^)am+3cz ( m + 6) ( m 4- 5 ) «m+<. 3cd + 2T3L"" A-" &■*"

/» r(m + 7)(m + 6)(m+5) am+* c4 i

Si m est égal à i , on aura

a a-c a?d aAe cèf b b" bi o5 w1'

5 «' cd 3 «!

1 ( rf 2 -+- 2 ce ) 6'

2 1 a5 cr/

c'est la formule connue de Newton pour le retour des suites. 15. Considérons maintenant l'équation générale

a — x -+- cp (x) = o,

o{x) étant une fonction quelconque de x\ comparant cette équation

avec l'équation

a — bx -+- bx £ = o

du n° 11, ou bien

donc, si l'on dénote par p une des racines de l'équation proposée, on aura, par la formule (F) du numéro cité,

,„ , r ra, ,„,..' dx"-'[(f(x)Y- i rf'g—' [?(*)]» ]

en faisant, après les diflérentiations, x== a.

il { x'" ) Or, puisque mxm~' = — , — ■> il est visible que la formule précédente

peut se mettre sous eette forme

,d.(x'")f ., td{xm)

d(x-) , , , d~dX-^{x^ , d--dx-^^y r=^+__?(.r)+ — — + __ — __ +...,

D'où il est facile de conclure qu'une fonction quelconque de./?, comme ûi (p), sera exprimée de la manière suivante

,rfi|;(.a?)r , ,., d<h{x),

+(/»)=+<*)+ Hzr*(x'+ï — as- - + ^3 s?- -+■.-

pourvu qu'on change, comme nous l'avons dit, x en « après avoir exécuté les différenliations indiquées, ce qui fournit le théorème suivant, qui est très-remarquable par sa simplicité et par sa généralité.