Dénotons les m racines de l'équation proposée par

x' , x" , x'", . . . , x(vi\

et comme on suppose que cette équation soit le produit de ces deux-ci

x" — Mx"-' -+- N x"-- — PxM -4- . . . = o, x" — M'a?"-1 H- N'x"~2 — V'xn^ -+-....;= o,

il est visible, par la théorie des équations, que l'une de ces équations aura pour racines n quelconques des in racines x', x", x'",..., x{-n), et que l'autre aura pour racines les n racines restantes; ainsi prenant x\

x", x'",..., x{n) pour les racines de

x" — Mx"-' -+- N^! — Px"-1 -+- . . . = o, eta?("+,), xin+2>, xl"+3),..., x[-n) pour les racines de

on aura, comme on sait,

M'= x("+'î + x(a+ï1 -+- x(n+V -+-...+ xi2"),

N' = x("+<> x(',+V -+- x<-"+') xO-1-3) + x("+V x("+2'> + . . . -+- x(2"-'î x(2"\

P' = x(«+Ox(<H-2) ^(n-t-3) | x(n+t) X("+V X(»+«) | x{n+2) x(n+!f) x(n+«) (.,.

Donc

ce. = x' -+- x" -+- x'" + . . . -+- x<-"1 + x'"-1-') -+- x'"4"2' -+- x'"-*"3' -+-...+ «<2"' = A,

(3 = a:'ar" -h x'x'" -h x"x'" -+- . . . + ,r("-').r("> -+- x("+'î x("+2'> -h x(n+^ x("+3) -+- x('l+2) xf"-*-') H-. . . + a;(2"-0^(!'0;

y = x' x" x'" -+■ x'x'"xiv -f- x"x'"xl" +.'.. + j(«-!)j;("-Oj(") | j;(n-t-> )•£(»■+■») ^C**-») -+- ^("+')a;('>+3)^("+<) -4- ar("+2'^("+3)x("+4) +. . . + ^('"-îljli»-!)/!»),

et ainsi de suite.

jm = x' + .»" + a?'"-f- . . . + x("î — •r("-M> — x("+V — x("-i-V — . . . — XC")>

rs = x'x"x'" -+- x'x'"x" -t- x"x'"xz" -+- . . . -t- x<n~2) x^-'^x^ — jr("+0 x(."+2) #("-ho

et ainsi de suite.

Donc, puisque

u — a\i. + bv + cro -+- . . .

on connaîtra quelle fonction des racines x', x", x'",..., x[-"] doit être la quantité a; et de là on pourra déterminer à priori le degré et la forme de l'équation en u par la considération de ses racines, lesquelles ne seront autre chose que les différentes valeurs que la fonction dont il s'agit pourra recevoir, en faisant entre les racines x', x", x'",..., x{2n) toutes les permutations possibles, comme nous l'avons expliqué suffisamment ailleurs.