I.2.3. . .ni ,. in (in — i)(m

ou bien

nombre qui, en supposant m = 2' et par conséquent re = 2r~' , sera impairement pair, comme nous l'avons vu dans le n° 16.

20 II est clair que si l'on échange à la fois les quantités x', x", x'",..., x{n) en x{"+{), xl'M), x{n+i),..., x{-n), dans les expressions de jj., v, ©,..-,, ces expressions changeront simplement de signes sans changer de valeur; donc toutes les valeurs particulières de la fonction u seront deux à deux égales et de signes contraires; de sorte que l'équation en u, dont le degré doit être impairement pair, manquera de toutes les puissances impaires, et pourra se transformer par la supposition de u2 = t en une équation en t d'un degré impair.

3° On peut démontrer, par un raisonnement analogue à celui des -nos 22 et 23, que le dernier terme de la transformée en t dont nous parlons sera toujours négatif, étant nécessairement égal au carré d'une fonction rationnelle des coefficients A, B, C,... de l'équation proposée, affecté du signe — . Car il est d'abord clair que si l'on supposait simplement u = p., on aurait le cas des numéros cités, puisque les lettres a, b, c, d,... dans les formules de ces numéros désignent les mêmes quantités

que nous avons représentées ci-dessus par x ', x", x'", . . . , x(2"\ c'est-àdire les racines de l'équation proposée.

De plus, en examinant les raisonnements des mêmes numéros, il n'est pas difficile de voir qu'ils ne tiennent pas à la forme particulière de la fonction ij,, mais seulement à la propriété qu'a cette fonction de demeurer la même, tandis qu'on échange entre elles les racines x', x", x'",..., x{n\ ou les racines xl'M), x(n+-], x{n+3) , . . . , x{-n), et de devenir négative quand on échange les premières racines dans les dernières; or cette propriété a lieu également dans les autres fonctions v, w,..., et dans la fonction générale ap. + bv -i-czs + ..., comme nous l'avons déjà observé plus haut; de sorte qu'on peut hardiment appliquer à l'équation ci-dessus en u ou en t les mêmes conclusions qu'on a trouvées dans les numéros cités.

30. On est donc assuré que l'équation en t aura toujours une racine réelle positive, et que par conséquent la quantité u = \it aura toujours au moins une valeur réelle. Or, dès qu'on connaîtra la valeur de la quantité u, on pourra déterminer par son moyen les valeurs des autres quantités a, /3, y,..., p., y, ts,..., lesquelles sont, ainsi que la quantité u, représentées par des fonctions des mêmes racines x', x", x'",...\ et de ce que nous avons démontré ailleurs [Nouveaux Mémoires de V Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771 (*)] , il s'ensuit

que chacune de ces quantités u, /3, y a, v, w,... sera donnée par une

équation du premier degré seulement, si la valeur de u est une racine inégale de l'équation en u\ mais si cette valeur est une racine égale, alors chacune des quantités oc, j3, 7,..., \j., v, ■%,... sera donnée par une équation dont le degré aura un exposant égal à celui de l'égalité de la racine u; or comme u — dz \lt, on voit d'abord que l'équation en u n'aura de racines égales qu'autant que la transformée en t en aura de telles, ou qu'elle aura des racines nulles; car il est visible que £ = o donne deux valeurs égales à u.

(*) Œuvres de Lagrange , t. III, p. 374.

Dans le premier cas, puisque l'équation en t est d'un degré impair (29, 20), on pourra démontrer, comme on l'a fait plus haut (24), que cette équation ne pourra avoir que des racines égales d'un degré d'égalité marqué par des nombres impairs; d'où l'on conclura sur-le-champ que,' quelles que soient les racines de l'équation en t, pourvu qu'aucune ne soit nulle, on aura toujours, non-seulement pour u, mais aussi pour a, p, y, . . . , jx, y, 7ô,..., des valeurs réelles; de sorte que les coefficients M, N, P,..., M', N', P',... des deux facteurs de l'équation proposée auront sûrement des valeurs réelles (27).

Le second cas, c'est-à-dire celui où l'équation en t aurait quelque ra-1 cine nulle, présente d'abord les mêmes difficultés qu'on a déjà considérées dans le n° 25; mais je remarque qu'à cause de

u = a\j. -t- bv ■+■ ers -+...,

où les coefficients a, b, c,... sont à volonté, on peut toujours prendre ces coefficients tels, que le cas dont il s'agit n'ait pas lieu, à moins que parmi les valeurs correspondantes de [j., y, sr, ... il ne s'en trouve qui soient nulles à la fois. Car supposons que les valeurs de p., v, ts, . . . ne soient jamais nulles en même temps, en ce cas il est visible que si la quantité t = u2 a des valeurs nulles , ce ne pourra être qu'en vertu de la relation qui se trouvera entre les coefficients a, b, c~, ... ; par conséquent ces valeurs cesseront d'être nulles dès qu'on donnera d'autres valeurs aux mêmes coefficients : ainsi l'on sera toujours le maître dé faire en sorte que l'équation en t n'ait aucune racine nulle. Il ne reste donc plus de difficulté que pour le cas où l'on aurait à la

fois

f/. — o, v = o, ts = o, . . . ;

mais il est visible (27) qu'on aura alors

de sorte que dans ce cas l'équation proposée ne sera autre chose que

celle-ci

x" — Ma?"-1 + N^r"-2 — Pa?"-3 + . . . = o

élevée au carré; par conséquent la proposée s'abaissera d'elle-même à un degré moindre de la moitié, et il est visible que les valeurs des coefficients M, N, P,. . . devront être toutes rationnelles, et par conséquent réelles, autrement il serait impossible que l'équation

x" — Mx"-' -+- Nx"~2 — Vx"~3 -+■ . , . = o,

étant élevée au carré, devint rationnelle et comparable à la. proposée

x2a — A x2"-' -+- Bx2"~2 — C x2"-3 -f- . . . = o.

D'ailleurs il est facile de prouver que les conditions