J. = O, V = O, HT = O

emportent nécessairement l'égalité entre les racines x\ x", x"',..., x{n) et les racines x{"+<), x{n+~\ xin+3),..., x{-n), en sorte que la proposée du degré m = 2n aura toutes ses racines égales deux à deux, et pourra par conséquent s'abaisser à une équation du degré n qui aura les mêmes racines, mais simples et inégales.

Ainsi toutes les difficultés sont résolues, et il ne reste<plus rien à désirer pour la démonstration complète du Théorème qui fait l'objet de ce Mémoire. Nous allons le terminer par donner un Exemple de l'application de la méthode qu'on vient d'expliquer.

31 . Soit, comme dans le n° 6, l'équation générale du quatrième degré

x* — Axz -h Bx2 — Cx -t- D = o

qu'on se propose de décomposer en ces deux-ci

x2 — Ms + N = o, x2 — M'x -+- N' = o ;

en comparant terme à terme le produit de ces dernières avec celle-là, on aura d'abord

M-f-M' = A, MM' + N + N'=B, MN' -4- M' N = C, NN'=D1

ni. 65

et faisant

a(3 — /xv = aC, |32-v2 = 4D,

d'où l'on tire d'abord

a = Af p=4B-A2+M2.

substituant ensuite ces valeurs dans les deux dernières équations, on aura

kfx2— 4,"-v — A3-f- 4AR — 8C = o,

On fera maintenant

w = «p. + bv,

et substituant, par exemple, — r— — à la place de v, on aura ces deux équations-ci

A^^^AM-4AB-8C = o, ^ + /8B-2^-^V2+^œ--^+(4B-A2)2^64D=o;

d'où l'on chassera p. pour avoir une réduite en u. Supposons, pour abréger,

(A3— 4AB -+-8C) = F, (4B— A2 2-64D = G, 6 A — 4fl =f> 8b-E~ 262A2 — i6a- = g,

on aura

62u.4 -H su-1 -h "iiaau — i6m2 -l- 62G = o;

donc

646>M3+i663F«2 + 8/63Ff/.M+/64F2

+ 4/2j§7J " +/2§'6F ■+■ ^f'afj.u - i6/3«2 -+-/362G = o,

d'où l'on tire

ainsi il n'y aura plus qu'à substituer cette valeur dans la première équation

ffj.* — 4 1"- M — 6 F = o,

et l'on aura cette équation finale

/[i6(63F-/3)M2 + 6/(63F2+/g-F+/26G)]2 + i6[i6(63F-/=)w2-f-6/(63F2+/g-F+/26G)] X [i662«2+/(263F -+- g/ 4- 8a/2)] iû -i66F[i6&2w=-i-/(263F-+-g/-t-8a/2)]2M.2=o,

laquelle, étant ordonnée par rapport à u, montera au sixième degré et ne contiendra que des puissances paires de u; de sorte qu'en faisant ir = t, on aura celle-ci du troisième degré

frP+/gF+/'6Gy p 16 j

où l'on voit que le dernier lerme est un carré avec le signe —, de sorte que la quantité t aura toujours une valeur réelle positive; on voit de plus qu'à moins qu'on n'ait à la fois F = o et G = o, on pourra toujours faire en sorte que t n'ait aucune valeur nulle; car il n'y aura qu'à prendre a et b de manière qu'on ait

63F2-t-/g-F+/,6G> ou <o;

je dis à moins que F et G ne soient nuls à la fois, car il est visible qu'alors la quantité dont il s'agit sera toujours nulle, quelque valeur qu'on donne à a et b; mais alors on aura

et l'équation proposée deviendra