RÉFRACTIONS ASTRONOMIQUES

( Nouveaiur Mémoires de V 'Académie royale des Sciences et Selles-Lettres de Berlin, année 1772.)

1 . On sait que les rayons qui traversent obliquement notre atmosphère se détournent de la ligne droite et décrivent des courbes concaves vers la surface de la Terre, en sorte qu'ils nous parviennent toujours dans une direction moins inclinée à l'horizon que celle suivant laquelle ils sont entrés dans l'atmosphère.

Le changement qui en résulte dans la hauteur apparente des astres est ce qu'on nomme en Astronomie réfraction céleste, parce qu'en effet il n'est dû qu'à la réfraction continuelle que souffrent les rayons en pénétrant dans les couches successives de l'atmosphère, lesquelles augmentent toujours de densité à mesure qu'elles s'approchent de la Terre. Ce phénomène n'a pas été tout à fait inconnu aux anciens Astronomes, mais les modernes sont les seuls qui l'aient examiné avec assez d'exactitude pour pouvoir en tenir compte dans leurs observations.

Nous ne ferons point ici l'histoire des travaux des différents Astronomes qui, depuis Tycho Brahé jusqu'à présent, se sont appliqués à la détermination de cet élément : notre objet est uniquement d'examiner cette matière par la théorie et d'après les données que les nouvelles expériences de M. de Luc (*) peuvent fournir relativement à la loi de la dilatation de l'air dans les différentes couches de l'atmosphère.

(*) Rechei-clws sur les modifications de V atmosphère, etc. Genève, 1772.

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2. Si la surface de la Terre était plane et que, par conséquent, les différentes couches de l'atmosphère dont la densité est uniforme le fussent aussi, il n'y aurait aucune difficulté à déterminer l'effet de la réfraction d'un rayon qui traverserait l'atmosphère sous un angle quelconque; car il est démontré que la réfraction serait la même, dans ce cas, que si le rayon entrait immédiatement dans la couche la plus basse, et par conséquent la plus dense de l'atmosphère, sans passer par toutes les autres couches intermédiaires; de sorte que, comme on connaît par expérience la puissance réfractive de l'air pour une densité quelconque, et qu'on peut avoir à chaque instant, par l'observation du baromètre et du thermomètre, la densité actuelle de l'air dans le lieu de l'observation, on serait assuré de pouvoir toujours déterminer exactement la quantité de la réfraction astronomique pour telle hauteur des astres qu'on voudrait. Mais il n'en sera pas de même si l'on a égard, comme on doit, à la rondeur de la surface de la Terre , et par conséquent aussi à celle des différentes couches de l'atmosphère. Dans ce cas, l'effet total de la réfraction dépend de la réfraction particulière de chaque couche, et l'on ne peut le déterminer sans connaître la nature de la courbe même que décrivent les rayons de la lumière en traversant toute l'atmosphère; mais pour cela il faut connaître auparavant la proportion selon laquelle l'air est différemment comprimé à différentes hauteurs, parce que la vertu réfractive de l'air varie toujours avec sa densité.

3. Voyons donc d'abord ce que l'expérience et la théorie peuvent nous donner de lumières sur ce sujet.

M. Mariotte, et après lui MM. Amontons et Hawksbee, ont trouvé, par des expériences réitérées et aussi exactes qu'il est possible, que l'air se comprime à proportion des poids dont il est chargé, en sorte que l'élasticité de l'air, qui est nécessairement proportionnelle au poids comprimant, l'est aussi à sa densité; mais cette proportion ne subsiste que tant que la chaleur de l'air est la même, car les deux derniers Physiciens ont trouvé ensuite que quand la chaleur de l'air augmente, la densité restant la même, son élasticité augmente aussi dans la même proportion : d'où

il s'ensuit qu'en général, l'élasticité de l'air est en raison composée de sa densité et de la chaleur qui y règne.

Or, comme le ressort de l'air dans un lieu quelconque est toujours nécessairement proportionnel à la hauteur du baromètre dans ce même lieu, on pourra prendre cette hauteur, que nous désignerons par y, pour la mesure de l'élasticité de l'air; par conséquent, si l'on désigne de plus par 5 la densité de ce même air, et par o sa chaleur, on aura

j"' = mëo,

m étant un coefficient constant qui doit être déterminé par l'expérience. Maintenant si l'on nomme x la hauteur du lieu au-dessus du niveau de la mer, où la hauteur du baromètre est y, il est clair qu'en considérant une colonne verticale d'air dont la hauteur soit infiniment petite dx, on aura — dy pour la hauteur de la petite colonne de mercure qui y fera équilibre (je donne le signe — à la différentielle dy, parce que y diminue pendant que x augmente); par conséquent, — -j- sera le rapport

de deux volumes également pesants de mercure et d'air, c'est-à-dire le rapport des gravités spécifiques ou des densités de l'air et du mercure; en sorte que, prenant la densité du mercure pour l'unité, on aura celle de l'air

§ = — iL.

dx Donc, substituant cette valeur dans l'équation y = miïo, on aura celle-ci

dy dx

par laquelle on pourra connaître la relation entre les hauteurs y du baromètre, pourvu qu'on connaisse quelle fonction la quantité <p est de x ou de y; mais cette dernière connaissance nous manque encore, et M. de Luc, qui a fait beaucoup de recherches savantes et utiles sur cet objet, avoue qu'il n'a rien trouvé là-dessus qui ait pu le satisfaire.

Cependant cet habile Physicien a découvert à posteriori une règle assez simple pour corriger les hauteurs des lieux déduites des observations du III. 66

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baromètre, suivant les variations de la chaleur de l'air; et cette règle même pourrait servir à découvrir la loi de ces variations à différentes hauteurs : c'est ce qu'il est bon de développer.

4. M. de Luc trouve d'abord que lorsque la chaleur de l'air est telle, que le thermomètre vulgairement dit de Réaumur est à i6°f-, la différence des logarithmes tabulaires des hauteurs du baromètre exprimées en lignes (ces logarithmes étant regardés comme des nombres entiers) donne assez exactement en millièmes de toises la différence de hauteur des lieux où le baromètre a été observé; de sorte qu'à proprement parler, la différence des logarithmes multipliée par 10000000, c'est-à-dire par dix millions, est égale à la différence des hauteurs des stations exprimées en millièmes de toises, ou, ce qui revient au même, la différence des logarithmes des hauteurs du baromètre exprimées en lignes donne la différence même des hauteurs des lieux exprimées en dizaines de mille toises.

Ensuite M. de Luc trouve que, lorsque le thermomètre est au-dessus ou au-dessous de i6°|, la correction à faire à la différence de hauteur trouvée par le calcul précédent pour chaque degré du thermomètre est à cette différence même dans la raison constante de i à 21 5 (voyez t. II, nos588et607).

Ces données vont nous servir pour déterminer la constante m dans

l'équation

dy dx

y mcp

trouvée ci-dessus, ainsi que l'expression de la chaleur <d en degrés du thermomètre.

Car, en supposant la quantité w constante, l'intégration donnera

logé -logJ = — ;

en dénotant par b la hauteur du baromètre qui répond à la hauteur x = a; d'où l'on voit que la différence des logarithmes des hauteurs l>

el y du baromètre est proportionnelle à la différence x — a de hauteur des deux stations.

Or, si l'on suppose que la chaleur <p soit celle qui répond à i6°| du thermomètre, et qu'on prenne cette chaleur pour l'unité; qu'on exprime de plus les hauteurs b et y du baromètre en lignes, et les hauteurs a et x des lieux en dizaines de mille toises; qu'enfin on réduise les logarithmes hyperboliques logé et log y en tabulaires, en les divisant par le logarithme hyperbolique de 10, et désignant ceux-ci par la caractéristique L, on aura l'équation

Lb-lr= X~a

m logio laquelle devra se réduire, suivant M. de Luc, à celle-ci

L b — Ly = x — a ; en sorte qu'on aura mlogio = i, c'est-à-dire

log 10 ^

Dénotons maintenant par / le nombre des degrés du thermomètre audessus de i6°|, auxquels répondra une chaleur quelconque 9, et il est facile de voir qu'on aura, suivant M. de Luc, l'équation

(Lfc

Lr=

et par conséquent

Ainsi l'équation différentielle entre x et y deviendra

dy dx log 10

où il ne s'agira plus que d'avoir la valeur de t en x ou en .y; mais c'est ce qui n'est pas aisé : car, quoiqu'il soit constant que la chaleur va en diminuant dans l'atmosphère à mesure qu'on s'élève au-dessus de la surface de la Terre, on n'a pu découvrir encore ni par la théorie ni par l'expérience la loi de cette diminution.

5. Ne pouvant donc nous flatter de connaître la vraie valeur de t en x, nous sommes réduits à employer des hypothèses et des approximations.

Et premièrement il est clair que le terme — = ne saurait varier beaucoup dans toute l'étendue de l'atmosphère; car, comme t exprime des degrés du thermomètre de Réaumur, au-dessus ou au-dessous du terme de i6°f-, quand on donnerait à t une variation de 65 degrés, depuis le bas jusqu'au haut de l'atmosphère, ce qui serait sûrement excessif, parce qu'en supposant la chaleur au bas de l'atmosphère de 25 degrés, on aurait pour le haut de l'atmosphère un froid de 4° degrés au-dessous du terme de la congélation, on n'aurait pourtant qu'environ — pour la

plus grande valeur positive de — ?i et environ — j pour la plus grande valeur négative de la même quantité. A plus forte raison la variation du terme — = sera fort petite dans l'étendue de l'atmosphère qui répond à la hauteur de nos plus hautes montagnes; en sorte que, quand il ne sera question que de mesurer l'élévation des montagnes par le moyen du baromètre, on pourra, sans erreur sensible, regarder la quantité t comme constante, et pour plus d'exactitude on pourra prendre pour t le degré moyen entre ceux qu'on aura observés aux deux extrémités de la hauteur qu'il s'agit de mesurer.

Ainsi, nommant c et t les degrés observés aux deux stations, où les hauteurs du baromètre sont b et y, on aura, pour la distance perpendiculaire x — a d'une station à l'autre, la quantité

(LÔ-Lr)(i+£t| en prenant pour la valeur moyenne de t.

Cette règle est la même que celle que M. de Luc a trouvée à posteriori,

et qui s'accorde très-bien avec les observations, comme on peut le voir

par le tableau qu'il en a donné dans le Chapitre V de la quatrième Partie

de son Ouvrage.

6. Si l'on pouvait regarder cette règle comme tout à fait exacte, il ne serait pas difficile d'en déduire la véritable loi de la diminution de la chaleur de bas en haut. M. de Luc paraît croire que cette règle suppose que la chaleur diminue en progression arithmétique (Article 658 de son Ouvrage); mais on va voir que cette conclusion n'est pas exacte.

L'équation donnée par la règle précédente est celle-ci

(L6 — Lr) ( i +

ou bien, en réduisant les logarithmes tabulaires Lb, Lj aux logarithmes hyperboliques logé, logj, en multipliant ceux-là par logio,

\logb-logr) h + —^75) =(* — «)logio;

, (x — a)Iogio

logft — logj=— — ' ° ;

et ditférentiant

dy ,(x — # ) log 1 o