III
en sorte que la différence cherchée sera
— Iog(i — z) — z— — + 3" "^ T +' ' '"^ ~~ 7 ~ri Iorque z est < 1.
Cette différence sera donc d'autant plus petite que z sera plus petite, et par conséquent que K- sera plus grande. Donc le rapport de cette différence à la quantité — ■=—■ — Ioe£ sera plus petit que à cause de
1 a 1 5 log 1 o D b ' t ^ 2 — z
— log(i — z)> -■
D'où il s'ensuit qu'en employant la formule qui résulte de notre hypothèse pour calculer la hauteur des montagnes, l'écart sera d'autant plus grand que la quantité t- sera plus petite, mais sa plus grande valeur sera toujours moindre que
du total. Or comme la plus grande hauteur où l'on ait monté est, suivant M. de la Condamine, celle du Coraçon, montagne de la Cordelière qui est élevée au-dessus du niveau de la mer cle 2470 toises, et qu'à cette hauteur le mercure se tenait à i5 pouces 10 lignes, il s'ensuit que la plus petite valeur de y que l'on puisse jamais avoir à calculer sera toujours plus grande que -■ Or prenant £ = -, et faisant comme ci-dessus
2l5l0gIO JO
on trouve z = 0,067; donc
de sorte que sur une hauteur de 2 470 toises on aura une erreur moindre que 85 toises.
Si l'on fait =~ = y, ce qui est à peu près le cas des plus hautes montagnes de l'Europe, on trouve z = o,o3, et z 3 1
ainsi sur une hauteur de 1000 toises, telle que celle du Mont-d'Or en Auvergne, où le mercure s'est soutenu à environ 22 pouces, l'erreur sera moindre que id toises.
D'où l'on voit que la formule résultante de notre hypothèse de la diminution de la chaleur en progression arithmétique donnera pour la hauteur des montagnes des résultats peu différents de ceux qui viennent de la formule reçue des Physiciens, où la chaleur est regardée comme constante.
9. M. Euler, dans ses Recherches sur la refraction, imprimées dans le volume de cette Académie pour l'année 1754, suppose que la chaleur décroisse de bas en haut suivant une progression harmonique. Suivant
cette hvpothèse la valeur de t serait de la forme — — —, et l'on aurait
•> r 1 -(- mx
trois coefficients/?, q, m à déterminer, en sorte qu'on pourrait faire quadrer cette formule avec trois observations données. On pourrait même supposer plus généralement
a -4- bx ■+■ ex- -t- . . .
p H- qx -+- rx- + . . .
en y admettant autant de termes qu'on voudrait; mais il serait inutile de s'étendre dans ces détails parce qu'il n'en pourrait jamais résulter que des conclusions hypothétiques.
10. Je viens maintenant à l'objet principal de ce Mémoire, à la recherche de la loi de la réfraction de la lumière dans l'atmosphère; et je remarque d'abord que par des expériences très-exactes faites par la
532 SUR LES REFRACTIONS
Société Royale de Londres en 1699, et répétées plusieurs années après par M. Hawksbee qui en donne le détail dans le Chapitre IV de ses Expériences physico-méchaniques , on a trouvé que l'angle dont la lumière se détourne par la réfraction en passant du vide dans l'air, ou d'un air d'une densité donnée dans un autre air d'une autre densité, est toujours proportionnel à la différence de la densité des deux milieux à travers lesquels la lumière passe; en sorte que, si z est l'angle d'incidence et z — 'Ç l'angle de réfraction, on aura toujours Ç proportionnel à l'excès de la densité du second milieu sur celle du premier; par conséquent, nommant cette différence de densité D, on aura Ç = mD, m étant un coefficient constant à l'égard de D, toutes les autres circonstances demeurant les mêmes.
Or, par la loi générale de la réfraction, on a, lorsque l'angle d'incidence z varie, les milieux restant les mêmes, — -. é^al à une quan-
sin2 L *
tité constante qu'on appelle la raison de réfraction, et qui dans l'air est très-peu différente de l'unité; en sorte que supposant cette raison égale à 1 — n, n étant une très-petite quantité, on aura
sin(z — Ç) = (1 — n) sinz;
d'où l'on voit que l'angle Ç est nécessairement très-petit de l'ordre de n, et qu'ainsi l'on pourra mettre, sans erreur sensible, sinz — Çcosz a la place de sin(z — Ç); ce qui donnera l'équation
Çcosz = /isinz, savoir
Ç = n tang2.
Donc, puisque l'angle très-petit Ç est proportionnel à D tant que z est constant, et que le même angle Ç est proportionnel à tangs lorsque D est constant, il s'ensuit qu'on aura, en général, Z dans la raison composée de D et de langz; c'est-à-dire
'Ç = AD tangz, X étant un coefficient constant et indépendant de D et de z.
Or, dans une des expériences de M. Hawksbee dans laquelle le baromètre était à 29 pouces 7^ lignes et le thermomètre à 60 degrés, on a trouvé que l'angle d'incidence z étant 3a degrés, l'angle de réfraction 3 — Ç, en passant du vide dans l'air naturel, était de 3i05c)'24", ce qui donne par conséquent Ç= 36". Donc, puisque dans ce cas D doit être égale à la densité naturelle de l'air qui est proportionnelle (3) à — - y-> ou (5) à - — ^—1 on aura dans l'expérience de M. Hawksbee l'équation
,„ Arlogio
3b' = — — tang32°,
où y dénote la hauteur du baromètre en lignes, et t les degrés du thermomètre de Réaumur au-dessus de i6°f (4).
Comme M. Hawksbee se servait d'un thermomètre particulier différent de celui de Réaumur, il faut, pour avoir la valeur de t qui convient à cette expérience, réduire les 60 degrés de son thermomètre à des degrés de Réaumur, ce qu'on peut faire aisément d'après les éclaircissements donnés par le traducteur de l'Ouvrage de M. Hawksbee; et l'on voit d'abord, par la Table de la page 172 de l'édition française, que 60 degrés de M. Hawksbee répondent à 47 degrés du thermomètre de la Société Royale, dans lequel le point de la congélation est à 77 degrés, et dont 5 degrés sont équivalents à 2 degrés de Réaumur (page 176), en sorte que les 60 degrés dont il s'agit doivent répondre à 12 degrés de Réaumur; or 12 = 16 1 — 4f ; donc on aura dans le cas présent
A l'égard de la valeur de y qui indique la hauteur du baromètre, il semblerait qu'il n'y aurait qu'à prendre 29 pouces 7 \ lignes, réduits en lignes; mais comme le pied anglais diffère un peu du pied de roi, la proportion du premier au second étant de i35i à i44°» il faudra faire
Ainsi l'on aura
XX 287 Xlogio' 36' = — tang32°,
et de là
ou plutôt
et
) X287 X logioX tang3a° u sin36"
860 X 287 x log 10 X tang32' L.X=3,6i6a85 3.
11. Maintenant soit C le centre de la Terre, AB sa surface, CAV la verticale au point A, Apqr la courbe décrite par un rayon de lumière qui traverse l'atmosphère, plqm et qmrn deux couches infiniment minces et concentriques à la Terre, dans chacune desquelles la densité de l'air esl uniforme; nommons AC = CP = r, Vp = x, en sorte que Cp — r-h x,
AC/> = y, et l'amplitude de la courbe Ap = p; et il esl clair que l'angle pql (Tq étant tangente en q) sera égal à dp, qu'en même temps cet angle sera celui qu'on a nommé ci-dessus Ç; de sorte qu'on aura
Ç = rfp; de plus il est clair que l'angle qrt sera l'angle d'incidence du rayon rq sur la couche qt, lequel a été nommé plus haut z, en sorte qu'on aura ici
tangs = ^ = - ^-^C,
et de là
Enfin, comme la réfraction n'est due qu'à la différence de densité des deux couches contiguës pt et qr, il faudra prendre pour D, non la quantité — -j- qui est proportionnelle à la densité même en pq, mais sa différentielle, à laquelle il faudra donner le signe — , à cause que la densité est supposée diminuer à mesure que la hauteur a? augmente; ainsi l'on aura
dx t
de sorte qu'en faisant ces substitutions dans l'équation Ç = ÀD tangs, on
aura celle-ci
, , , >-Ioeio
dp = — ld- — s__. x tangs ;
lH 5
or il est visible que
dz = angle Grq — angle Cqp = angle Cqt — angle g Cr — angle Cqp = angle pqt — angle qGr — dp — dis;
donc substituant pour dp et do les valeurs trouvées ci-dessus, et divisant l'équation par tangs, on aura
dz . , y log i o dx
— — ko. -
tangz t r ■+■ x
quation intégrable, laquelle étant intégrée en sorte que Z soit la valeur
de z, et b, c celles de y, t lorsque x = o, on aura
, s'mz , /ilogio rlogio".
sinZ I c t D /■ + x
d'où l'on tire
sinZ
ou bien, à cause de e'0SI° = 10,
sinZ io
Or il est visible que Z est égal à l'angle VAT que fait avec la verticale VA la tangente AT de la courbe décrite par le rayon en traversant l'atmosphère; par conséquent Z sera la distance apparente de l'astre au zénith. De plus si l'on suppose que XY soit la tangente à la même courbe dans le point où le rayon entre dans l'atmosphère, il est clair que l'angle ZXY sera l'effet total de la réfraction, en sorte que la véritable hauteur de l'astre sera
go" - Z — angle ZXY ;
et il est clair en même temps que cet angle ZXY, formé par les deux tangentes AX et YX, sera l'amplitude totale de la courbe Apqr; c'est-àdire la valeur de p qui répond à toute l'étendue de la même courbe depuis le point A jusqu'au haut de l'atmosphère. D'où l'on voit que le Problème de la réfraction consiste à déterminer la valeur totale de p en Z.
Ainsi Z étant la distance apparente au zénith, p sera la réfraction, et la difficulté consistera à déterminer p en Z.
