Pour cela je fais

en sorte que l'on ait

u sinZ sinz — — — j

ce qui donnera

tangz

«sinZ / w-sin2Z

de plus, on a par la différentiation

donc, substituant ces valeurs dans l'expression de dp trouvée ri-dessus, il viendra

dP =

sxnïdu j î<2sin2Z

d'où l'on tirera par l'intégration la valeur de p, en observant que p doit être égal à zéro lorsque x = o, auquel cas on a u — i .

Je remarque d'abord que le terme — est nécessairement fort petit visà-vis de i; car r étant le rayon de la Terre, et la plus grande valeur de x devant être la hauteur de l'atmosphère, la plus grande valeur de '— sera

le rapport de la hauteur de l'atmosphère au rayon de la Terre, rapport qui, par l'observation des crépuscules, est

sec. 90 — i = 0,0 1 2 462 5 <C tt~ ■

Quand on voudrait même supposer que ce rapport est trop faible de moitié, et qu'il doit être porté à j--, il resterait toujours assez petit pour

pouvoir être négligé vis-à-vis de r sans qu'il y ait d'erreur sensible à craindre.

Mais comme dans l'intégration la valeur de — doit augmenter depuis III. 68

538 SUR LES REFRACTIONS

zéro jusqu'à la valeur du rapport dont il s'agit, il est clair qu'on s'écartera encore moins de la vérité si , au lieu de négliger tout à fait cette quantité, on lui donne une valeur constante et moyenne entre la plus grande et la plus petite; et l'on aura d'autant moins d'erreur à craindre de cette hypothèse que l'on n'a besoin que d'avoir la valeur totale de

l'intégrale. Soit donc a. cette valeur moyenne de — que nous traiterons comme constante, et l'on aura

, sinZ du I m2 sin2 2 dont l'intégrale est

, . «sinZ

k = arc sin — — :

k étant une constante arbitraire; c'est-à-dire

. . , u sinZ sinZ e

sinfp -+- h ) =

or, comme en faisant p = o on doit avoir u = \, on aura

. , sinZ sin k = :

de plus il est clair que pour avoir la valeur totale de la réfraction p il faut faire y = o, puisqu'au haut de l'atmosphère la hauteur du baromètre doit êlre nulle; ainsi l'on aura

et de là

où p exprime donc la réfraction qui a lieu pour un astre dont la distance apparente au zénith est Z, b étant la hauteur du baromètre en lignes,

Mloem

sin (p -i- k)

sinZ i + ^