DU PREMIER ORDRE

( Nouveaux Mémoires de V Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1772.)

1. Lorsqu'on a une fonction u de plusieurs variables ce, y, z,..., on appelle différences partielles de u celles qui résultent de la différentiation de m en y faisant varier. chacune des quantités x, y, z,... à part; ainsi, supposant que la valeur complète de du soit représentée par

p dx -+- q dy ■+- rdz + . . . , les différents termes

pdx, qdy, rdz, . . .

de cette différentielle seront les différences partielles du premier ordre de u. On a coutume de représenter les coefficients p, q, r,... des différences dos, dy, dz,..., dans la différentielle de u, par -^, ~, -t^,--, de

' dx dy dz

sorte que la valeur complète de du sera représentée par

du , du , du ,

-7— kh — 7- dy H — >- dz -+- . . . .

■ • ■ • 1, .• . . c/k du dit

Ainsi, si I on a une équation entre u, x,y, z,... et -7-» -r-, -/-■>•■■■> ce

sera une équation à différences partielles du premier ordre; et c'est sur l'intégration de ce genre d'équations que je me propose ici de donner quelques nouveaux principes.

2. Supposons que // soit une fonction de x et de y seulement, et que

l'on ait pour la détermination de cette fonction une équation en u, x, y,

du du . , , P . , , , , . . , du du

■5— î -r-\ si I on tait pour plus de commodité j~ = p, — = q, on aura

du ----- p dx -+- q dy,

et l'équation donnée sera entre les cinq variables u, x, y, p, q; en sorte qu'on pourra par cette équation déterminer, par exemple, q en u, x, y, p; la quantité p sera donc encore indéterminée, et la question se réduira à la déterminer de façon que l'équation

du = p dx -+- q dy, ou bien du — p dx — q dy = o

soit intégrable, ou d'elle-même, ou étant multipliée par un facteur quelconque.

Soit, en général, M le facteur que la différentiation aura pu faire disparaître, en sorte que la quantité

M ( du — p dx — q dy )

soit une différentielle exacte d'une fonction de u, x, y que nous désignerons par N; on aura donc

JN , c/N , </N , »„ , , », ,

r/N = -y- du + -j— dx h — 7— dy = Mfl«- Mpdx — Mqdy,

et de là

-j— = M, -p=-Mc, -j— = — Mo; du dx r dy 3

d'où l'on tire les conditions suivantes

dm

d(Mp\

dM

dimq

d mp)

d[Mq

dx

du

dy

du

~ dy

dx

par lesquelles il faudrait déterminer M et/?. La dernière de ces équations

A DIFFÉRENCES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE. 55! donne celle-ci

M / ty- — d1 \ — — — —

\dy dx] " dy dx ~

laquelle, en substituant pour - — et -r- leurs valeurs données par les deux premières, devient

M l^£. — ^S.\ — d[^1] d(Mp) __ \djr dx) ' du ' du

c'est-à-dire, en effaçant ce qui se détruit et divisant le reste par M,

dy dx ' du H du

or, comme q est (hypothèse) une fonction donnée de x, y, u et p, cette équation ne contiendra plus que l'inconnue p; et la difficulté sera réduite à déterminer par son moyen la valeur de p en u, x, y.

3. Quoique de cette manière on ait trouvé l'équation qui doit servir à déterminer/?, il parait qu'on n'a guère avancé dans la solution du Problème proposé; car au lieu qu'on avait une équation entre x, y, u, -r-,

du , , , . . ,

-T- pour la détermination de u, on en a maintenant une entre x, y, m, p,

-J-i -7-1 -t- pour la détermination de p, laquelle, à la considérer, en général, doit être au moins aussi difficile à résoudre que celle-là, si même elle ne l'est pas davantage à cause qu'elle contient une variable de plus. 11 y a cependant une circonstance qui doit la faire regarder comme plus simple que la proposée, c'est que les différentielles dp et dq n'y paraissent que sous une forme linéaire; d'ailleurs nous remarquerons qu'il ne sera pas nécessaire de résoudre cette équation d'une manière complète, mais qu'il suffira de trouver une valeur quelconque de p qui y satisfasse, pourvu qu'elle contienne une constante arbitraire; car nous ferons voir bientôt comment, à l'aide d'une telle valeur de p, on pourra néanmoins parvenir à la solution générale et complète de l'équation proposée.

4. Pour faire voir d'une manière encore plus directe comment l'équation que nous venons de trouver pour la détermination de p peut servir à résoudre le Problème dont il s'agit, reprenons l'équation

du — p dx — q dy = o,

dans laquelle q est une fonction donnée àep, u,x,y, et oùp est supposé une fonction de u, x, y telle, que l'équation soit intégrable, soit d'ellemême, soit à l'aide d'un multiplicateur quelconque. Qu'on suppose que l'une des trois variables u, x, y devienne constante, par exemple u, en sorte qu'on ait l'équation à deux variables

pdx ■+- qdr = o;

soit L le facteur qui rendra la différentielle pdx + qdy intégrable (fac- "teur qu'on peut toujours trouvera posteriori dès qu'on aura intégré l'équation pdx -+- qdy = o) ; on aura donc

Updx -+- qdy) = dt,

t étant une fonction de x et de y, dans laquelle u entrera aussi comme constante; par conséquent on aura

dt dt

" dx' " dy '

mais en regardant x, y et u comme variables à la fois, on a, pour la valeur complète de la différentielle dt,

donc on aura

dt . dt , dt ,

y-MH — j- dy -+ — - du ; dx dy J du

dt = Lp dx -+- L q dy -\ — j- du ;

ainsi l'équation"

du du — p dx — q dy = o, étant multipliée par L, deviendra celle-ci