L -4- -j- ) du — dt = o

A DIFFÉRENCES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE. 553 qui devra donc être intégrable. Or comme t est une fonction connue de u, x, y, on aura réciproquement x égale à une fonction connue de t, u, y, de sorte qu'on pourra introduire la variable t à la place de la variable x; qu'on fasse donc cette substitution dans la quantité L -+-^> et comme l'équation ne contient que les deux différentielles du et dl, il est clair qu'elle ne pourra être intégrable à moins que la variable y ne disparaisse entièrement de la quantité L -+--J-- Supposons, pour abréger, cette quantité égale à P, et il faudra qu'en substituant dans P, à la place de x, sa valeur en y, u et i, la variable y s'en aille en même temps que x; donc aussi si, dans la différentielle

7n dP , dP , dP ,

rt P = -,— dx H — i— dy -+- -5— du, dx dy ' au

on substitue pour dx sa valeur tirée de l'équation dt = Lpdx -4- Lqdy + -j- du,

il faudra que la différentielle dy disparaisse; mais, la substitution faite,

on a

1, 1 1 dl j

dP , dP , -+- -j— dy + -j— du ; dy ' du

savoir

/ dP dt dP 1 \ ,

dP =

dP dx

dl —

L q dy

dl ,

î— du

du

dP dx

dl 1 dP

Lp \dj-

dP\ .

dx-)d^

Ira q

u'on ait

dP

q dP

dy

p dx

dl du

Or

donc on aura cette équation de condition

dL d!t q ( dL d't

dy dudy p \ dx dudx J

mais on a déjà

dx "t"' dr donc on aura

dt dt

d-t d{Lp) dp dL d-t __ d(Lq) dq dL

dx du du du " du ' dy du ~ du du ^ du '

donc l'équation précédente deviendra

dL T dq dL a f dL , dp dL\

dy du H du p \dx du " du

savoir, en otant ce qui se détruit,

dL dq q I dL dp\

dy d p \ dx dii

De plus les mêmes

équations

dt

dx = LP'

dt

donnent

d(Lp)

d(Lq)

dy dx

dy dy * dx dx

donc, retranchant de cette équation la précédente multipliée par/», et divisant le reste par L, on aura celle-ci

dp d1 dq+ dp=o

dy dx ' du * du

qui est, comme on voit, la même qu'on a trouvée plus haut.

5. Ainsi, dès qu'on aura satisfait à l'équation précédente par le moyen de la valeur de p, on sera assuré qu'en chassant x de la quantité

du

par l'introduction de la variable t, la quantité y s'en ira en même temps, de sorte qu'on aura alors l'équation à deux variables

Pdu — dt = o.

Soit donc L' la fonction de u et de t par laquelle il faudra multiplier maintenant la différentielle

Vdu - dt

pour la rendre intégrable (fonction qu'on pourra toujours trouver par l'intégration de l'équation Velu — dt = o), et comme

L'{Vdu — dt)

sera une différentielle exacte d'une fonction de u et t, si l'on remet à la place de t sa valeur en u, x et y, ce qui , à cause de

dt = L p dx -+- L q dy H — =- du, P=Lh — =- , r ' • du du

transforme la différentielle dont il s'agit en celle-ci

L' ( L du — Lp dx — L q dy) ,

il est évident que cette dernière différentielle sera pareillement une différentielle exacte d'une fonction de u, x et y; d'où il s'ensuit que L'L sera le facteur propre à rendre intégrable la différentielle

du — pdx — q dy,

et qu'ainsi l'on aura (2)

de sorte que connaissant L etL', on connaîtra sur-le-champ le facteur M, et de là par l'intégration on pourra connaître la valeur de la fonction finie

M {du — pdx — q dy) .

6. On voit donc clairement par l'analyse précédente que la solution du Problème ne dépend que de la recherche de la quantité p à l'aide de

l'équation de condition

cl y dx ' du H du

laquelle est connue depuis longtemps; car, dès que cette condition sera remplie, on pourra toujours trouver le multiplicateur M, qui rendra intégrable l'équation

du — p dx — q dy = o,

et l'intégration donnera ensuite la valeur cherchée de u en x et y.

Si la valeur de p, qui satisfait à l'équation de condition, a toute la généralité que cette équation comporte, on aura par son moyen la valeur complète de u; mais si la valeur de p n'est que particulière, on ne trouvera d'abord qu'une valeur particulière et incomplète de la fonction cherchée u; cependant si la valeur particulière de p est telle, qu'elle renferme une constante arbitraire, on pourra compléter la valeur de u de la manière suivante. On cherchera d'abord, d'après cette valeur particulière de/?, le multiplicateur M, qui rendra intégrable la différentielle

du — pdx — q dy,

et l'on aura, en intégrant, l'équation

/ M [du — pdx — qdy) = une const.

Désignons, pour plus de simplicité, par N la quantité

/ M ( du — pdx — q dy) ,

qui sera nécessairement une fonction finie de u, x et j; soit de plus </. la constante arbitraire qui entre dans la valeur dep, et il est clair que cette constante entrera aussi comme telle dans l'expression de N; supposons maintenant que cette même quantité oc, au lieu d'être constante, soit aussi une fonction variable, et il est visible que dans ce cas la différentielle

complète de N ne sera plus simplement

M ( du — p dx — qdy), mais

M ( du — pdx — q dy) H j— du ;

de sorte qu'on aura, dans l'hypothèse de la variabilité de «,

N = / M {du — p dx — q dy ) + / -j- dix, et par conséquent

/ M{du— pdx — qdy) = T$ — j -j- de/..

Donc, si pour satisfaire aux conditions du Problème on veut que la différentielle

M {du — pdx — qdy)

</N soit intégrable d'elle-même, il faudra que la différentielle -r-du. le soit

aussi en particulier; ce qui ne saurait évidemment avoir lieu, à moins

que -j— ne soit une fonction quelconque de a.

Que /(a) dénote donc une fonction quelconque de a, et supposant

j.,, , df(a) e

f («) = -f » on fera

-j— =zf'[a), dcf. •'

équation par laquelle on pourra déterminer a. Ensuite on aura

flû'd'x=-f{"); donc

/ M i du — p dx — qdy) = N —fi a. i ;

de là on aura l'équation intégrale

N —fia) = une const.,

ou bien simplement

[à cause que la constante peut être censée renfermée dans la fonction /{«)], laquelle servira à trouver la valeur de la fonction u; et il est clair que cette valeur de u sera complète, puisqu'elle contiendra une fonction arbitraire.