On voit donc aussi par là que toute équation de la forme
dy dx ' du * du
où q est supposée une fonction quelconque donnée de u, x, y, p, est telle, que si l'on connaît seulement une valeur particulière de p, mais qui renferme une constante arbitraire a, on pourra toujours trouver la valeur complète de/?; car il n'y aura qu'à tirer la valeur de a de l'équation
-dï=f{"] et la substituer ensuite dans la valeur particulière et connue de p.
8. Pour montrer maintenant l'application du Théorème précédent, nous allons parcourir les principaux cas dans lesquels l'équation de condition est facile à remplir par le moyen d'une valeur particulière de p qui se présente naturellement, et nous en verrons naître les solutions de la plupart des Problèmes de ce genre qui n'ont été résolus jusqu'ici que par des méthodes particulières.
Premier Cas. — Lorsque q est une/onction de p seul.
Soit P une fonction quelconque de p, et supposons qu'on ait
l'équation de condition (6) deviendra, en faisant dP = V'dp,
dy dx r du du
à laquelle il est visible que satisfait cette valeur
p = une const.
On aura donc ainsi
p = a. et q = A
(A étant ce que devient P lorsque P = a), d'où l'on voit que la différentielle
du — pdx — qdy
deviendra
du — a. dx — A dy,
laquelle est évidemment intégrable d'elle-même. Intégrant donc on aura
u — xx — ky = N ; de là, en faisant varier a, on aura
dN
-da-=~x-Ar
équation d'où l'on tirera la valeur de a, qui étant ensuite substituée dans l'équation
ou bien
donnera la valeur complète de u.
Deuxième Cas. — Lorsque q est une fonction de p et de y. Soit P une fonction de p et de y, en sorte que
dP = V'dp + Qdy,
et supposons
À' étant égal à -1— ) -, donc
l'équation de condition deviendra la même que ci-dessus, à cause que
dx dx du du '
ainsi l'on y pourra satisfaire en prenant de même
p = ce, ce qui rendra P égal à une fonction dey seul; de sorte que la quantité
du — p dx — q dy,
savoir
du — a dx — P dj -,
sera intégrante d'elle-même, et l'on aura
N = m — <xx— I Pdy.
De là on tirera
rfN __ Ç
dN rdP .
dï=-.x-J—dr'
par conséquent on aura l'équation
fit ^ CdP /
laquelle servira à déterminer a; ensuite de quoi on aura u par l'équation
N— /(«) = o, ou bien
u — xx — / Vdy — f(a) = o.
Troisième Cas. — Lorsque q est une fonction de p et de x.
Dans ce cas il est clair que la valeur de p sera réciproquement exprimée par une fonction de q et x; donc regardant q comme l'inconnue, cl supposant Q une fonction de q et x, on aura
et l'équation de condition deviendra, en supposant -H- = Q',
a laquelle on peut satisfaire en prenant q égal à une constante v, ce qui rendra Q égal à une fonction de x seul, en sorte que la quantité
du — pdx — qdy; ou bien
du — Q dx — a. dy
sera intégrable d'elle-même. Ainsi l'on aura
N = u — I Qdx — ay,
d'où l'on tirera «, qu'on substituera dans l'équation
et de là
Quatrième Cas. — Lorsqu'une fonction de p et x est égale à une fonction de q et y.
Soit P une fonction de p et x, et Q une fonction de q et y, eu sorte
qu'on ait
il est clair que si l'on prend une constante a et qu'on fasse
on aura, par la première de ces équations,/? exprimé par une fonction de x seul, et par la seconde on aura q exprimé par y seul; en sorte que
les différentielles -]-■> -/-» -y-, -î. seront nulles d'elles-mêmes; ainsi dy du dx au
l'équation de condition se trouvera remplie, et il est visible que la
quantité
du — p dx — q dy III. 7.
sera intégrable sans aucune préparation; on aura donc
dN da
N =■ u — | p dx — J q dy,
d'où l'on tirera la valeur de a pour la substituer dans l'équation N —/(a) = o, laquelle deviendra donc
j pdx—j qdy—f{a) =o.
Cinquième Cas. — Lorsqu'il y a entre p, q, x et y une équation dans laquelle p et q ne montent qu'à la première dimension .
Soient X et Y des fonctions quelconques de x et y, et supposons
qu'on ait
? = pX + Y;
substituant donc cette valeur dans l'équation de condition, elle deviendra
dy dx " dx dx " du "J du
Il est d'abord clair que si l'on suppose que p ne contienne point u, cette équation se simplifiera beaucoup, car elle deviendra, en faisant pour
plus de simplicité -p- = X et -3— = Y ,
dy, dx '
Mais cette équation est encore trop compliquée pour qu'on puisse trouver facilement une valeur particulière de p qui y satisfasse. Considérons donc plutôt la quantité même
du — p dx — q dy, ou bien, en mettant pX-h Y à la place de q,
du — p ( dx -+- X dy) — Y dy,
laquelle doit être une différentielle exacte, ou d'elle-même, ou étant multipliée par un facteur convenable M; et il est d'abord clair que, comme X est une fonction donnée de x et y, si l'on cberche le facteur m qui rendra intégrable la quantité dx + Xdy, et qu'on suppose ensuite
m ( dx -t- Xdy) = dz,
on aura à rendre intégrable cette quantité plus simple
du — — dz — Ydy; m
où F- est une fonction inconnue, et Y une fonction connue dé. a? et de y,
ou bien de z et de y, en substituant à la place de x sa valeur en y et z tirée de l'équation
I m dx -t- X rf/ ) = ■■ z ;
or on sait que la quantité dont il s'agit sera intégrable si l'on a d£-
m d\ dy dz '
ce qui donne, en intégrant suivant y,
m J dz J
u étant une constante arbitraire; ainsi l'on a une valeur particulière de p, laquelle donne
N = u — olz — l Ydy,
donc
ce qui servira à déterminer a.; ensuite de quoi on aura l'équation
N -/(a) = «-« - fYdy -/(«) = o.
Or comme on a
il est clair que a. sera une fonction quelconque de z; de sorte que l'équation qui sert à déterminer u pourra être représentée plus simplement ainsi
«— / Ydy—f(z) = o.
Au reste on aurait pu voir d'abord par l'équation
— = | —r- dy H- a m J dz J
que la constante a pouvait être une fonction quelconque de z, puisque
C dY l'intégrale / —j-ày est censée prise en faisant varier/ seul, et s demeurant constante; de sorte que la valeur de p étant complète, on aurait eu sur-le-champ par son moyen la valeur complète de u; mais nous avons cru qu'il n'était pas inutile de faire voir comment on y pouvait parvenir aussi par le secours de notre méthode, en supposant que la quantité a ne fût regardée d'abord que comme une constante indéterminée.
Sixième Cas. — Lorsqu'il y a entre p, q, x, y une équation telle, que x et y ne remplissent ensemble aucune dimension.
Faisant x = zy, on aura donc une équation entre p, q, z, d'où l'on tirera
P étant une fonction de p et : seulement. Or en considérant immédiatement l'équation
du — p dx — q dy;
ainsi qu'on l'a fait dans le cas précédent, elle deviendra, par les substitutions,
du — p ( z dy 4- ydz ) — P dy = o,
savoir
du — yp dz — ( pz -+- P ) dy = o ;
et l'on voit que cette équation peut devenir intégrable en supposant p une fonction de z seul (ce qui rendra pareillement P une fonction de z), pourvu qu'on ait
pz -+- P = / pdz,
savoir
pdz = pdz ■+- z dp -t- d P, ou bien
zdp + dP = o;
équation différentielle entre/? et z, d'où l'on pourra, par l'intégration, tirer la valeur de p en z, laquelle contiendra une constante arbitraire a. De cette manière on aura, par l'intégration,
= u — r pdz,
et ensuite
û?N rdp , .,
da J J da. J '
d'où l'on tirera x, qu'on substituera ensuite dans l'équation
N-f(a) = u — ypdz—f{x) = o.
Au reste, comme on doit avoir dans ce cas y = Qx, Q étant une fonction de p et q, on pourra le résoudre aussi plus simplement par la Remarque suivante, à l'aide de laquelle on peut le réduire au cinquième Cas ci-dessus.
Remarque. — Tels sont les principaux cas résolubles, en général, lorsqu'il y a une équation entre/?, q, x et y sans u, et où par conséquent p et q peuvent être des fonctions de x et y seuls; il faut cependant y ajouter encore ceux dans lesquels il y aura entre ces quatre quantités mêmes équations, mais en échangeant x, y en p, q, et réciproquement;
566 SUR L'INTEGRATION DES EQUATIONS
car, à cause de -f- = o et -£- = o, l'équation de condition est du du '
dy dx '
laquelle, en regardant maintenant x et y comme des fonctions de p et q, peut se mettre également sous la forme
dx dy dq dp
où p et q ont pris la place de x et y, et vice versa. Ainsi il n'y aura qu'à traiter ces cas de la même manière que les cas analogues résolus ci-dessus, en supposant qu'au lieu de chercher/? et q en x et y, on cherche au contraire x et y en p et q.
Septième Cas. — Lorsque q est une fonction de p et u. Soit P une fonction de p et u, en sorte que
dV = ¥'dp-hQdu,
et soit
l'équation de condition deviendra
dy dx r du r du
il est clair qu'on peut supposer que/? soit une fonction de u seul, sans x
ni y, ce qui réduira l'équation à celle-ci %
r du r du
or comme P, P' et Q sont des fonctions données <\ep et u, il est clair que l'équation précédente ne sera qu'entre ces deux variables, en sorte qu'elle pourra s'intégrer par les méthodes ordinaires; ainsi l'on aura p en u, et comme l'intégration introduira une constante arbitraire a dans la valeur de/>, on pourra en déduire la valeur générale et complète de u.
En effet, l'équation
du — p dx — q dy = o, ou bien
du — p dx — P dy = o donnera celle-ci
du — p dx &= jT — '
où le second nombre étant une fonction de x et u seuls, sera nécessairement intégrable; de sorte qu'on aura
C du — p dx
et de là on tirera la valeur de -j—i qui étant supposée égale à f (a) servira à déterminer celle de x, qu'on substituera ensuite dans l'équation
intégrale
Huitième Cas. — Lorsque q=pX-\-\, X étant une fonction de x et y, et V une fonction de x, y et u.
Au lieu de considérer l'équation de condition par laquelle on doit déterminer/?, je considérerai d'abord, ainsi que j'en ai déjà usé plus haut, dans un cas analogue à celui-ci (cinquième Cas), la quantité
du — p dx — q dy,
qui doit être une différentielle complète, ou dans l'état où elle est, ou après la multiplication par un facteur quelconque M. Or, mettant pX -t- V à la place de q, elle devient
du — p\dx + Xdy) — Vdy ;
et cherchant le multiplicateur m qui rendra dx -+- Xdy égale à une différentielle exacte dz, on aura
du — P- dz— Vdr, m
quantité où — est une fonction inconnue, et où V est une fonction
connue de oc, y, u, ou bien de u, y, z, en mettant à la place de x sa valeur tirée de l'équation
m(dx -+-Hdr) = z.
Supposons donc que cette quantité, étant multipliée par M, devienne une différentielle exacte; il faudra que
M (du — Ydy — E- dz
soit la différentielle d'une fonction de u, y, z; donc, en regardant d'abord z comme constante, il faudra que
M [du— Ydy)
soit la différentielle d'une fonction de u et y; ainsi il n'y aura d'abord qu'à chercher le multiplicateur M qui rendra intégrable la quantité M(du-Ydy) considérée comme fonction de u et y seuls. Soit donc
M {du— Ydy) = Z,
il est clair que Z contiendra aussi z comme constante; de sorte que si l'on veut maintenant traiter s comme variable, on aura, pour la différentielle complète de Z, la quantité
M (du — Ydy) -+- -3- dz;
M ( du — Ydr) = dZ -j- dz;
J dz
de sorte que la quantité qui doit être une différentielle exacte deviendra
\ m dz J
Or il est visible que pour que cette condition ait lieu il n'y aura qu'à
supposer
Mp dl m dz '
ce, qui donnera une valeur particulière de p qui, contenant la constante arbitraire a, conduira, à l'aide de notre méthode, à la solution générale du Problème. On aura en effet
d'où
rfN ' .
rfï = -*=/»•
et de là
N— f(a) — Z — az— f(a) = o.
D'où l'on voit que a sera une fonction quelconque de z; en sorte que l'équation, qui donnera la valeur complète de u, pourra se mettre sous
cette forme plus simple
Au reste on peut l'aire ici une remarque analogue à celle qu'on a faite ci-dessus dans la solution du cinquième Cas, dont celui-ci n'est qu'une généralisation.
Neuvième Cas. — Lorsque q—pmXYV, X étant une fonction de x, Y une fonction deyetV une fonction de u.
Je considère encore immédiatement la quantité
du — p dx — q dy,
laquelle, par la substitution de la valeur de q, devient
du — p dx — p'" XYU dy ;
je fais
v étant une fonction de u, et j'ai
du — rvdx — rmv'" XYU dy,
je suppose maintenant v = v'"\], ce qui donne
et divisant ensuite toute la quantité précédente par c, j'ai
- — rdx -- rm X Y dy ;
maintenant il est clair que cette quantité sera intégralité si l'on l'ait
a étant une constante, car elle deviendra
du '"/a , ,. ,
dont l'intégrale sera
de là on tirera donc la valeur de -t—> qu'on fera égal à /'(oc), et il n'y aura plus qu'à substituer la valeur de oc, qui résultera de cette dernière
équation, dans celle-ci
Remarque. — Si l'on a une équation entre p, q, u et x, on pourra regarder p etq comme des fonctions de u et x seuls, et le Problème rentrera dans le cas où l'équation est entre p, q, x, y, en prenant/ à la place de u, — — à la place de p, et - à la place de q; car il est visible
que l'équation
du — p dx — q dy = o
peut se mettre aussi sous la forme
, p dx du
dy -+- ' = o,
qui résulte de la précédente, en changeant a eny,p en — — » q en -• Il
en sera de même, mutatis mutandis , du cas où l'on aura une équation
entre p, q, u et y.
9. Les cas que nous venons d'examiner renferment d'une manière générale à peu près tout ce qu'on sait sur l'intégration des équations du
premier ordre entre trois variables; d'où l'on voit combien peu on est encore avancé dans cette matière. Le principe que nous avons donné, pour trouver l'intégrale complète d'après une intégrale particulière, est, comme on voit, très-fécond, et suffit seul pour résoudre la plupart des cas où l'intégration réussit. Nous remarquerons cependant sur ce sujet que si, au lieu d'avoir une valeur particulière de p, laquelle renferme une constante arbitraire, on avait une valeur particulière de u renfermant de même une constante arbitraire, on ne pourrait cependant pas trouver par son moyen l'intégrale complète; mais on pourrait y parvenir si la valeur particulière de u renfermait à la fois deux constantes arbitraires.
10. Pour démontrer cette proposition et donner en même temps le moyen de déduire la valeur complète de u d'une valeur particulière renfermant deux constantes arbitraires, supposons que cette valeur soit déterminée par une équation entre u, x et y, laquelle renferme outre cela deux constantes a et |3 qui ne se trouvent pas dans l'équation différentielle; il est visible que, si l'on différentie cette équation en sorte que l'une des constantes comme ]3 disparaisse, on aura une équation dilférentielle qui sera nécessairement comparable à la proposée
du — p dx — q dy = o,
et d'où l'on pourra tirer par la comparaison une valeur de /j, laquelle renfermera encore une constante arbitraire <z; en sorte qu'on pourra ensuite en déduire la valeur complète de u. Mais si l'équation en u, x et y ne renfermait qu'une constante arbitraire /3, alors il est visible qu'en faisant évanouir cette arbitraire par la différentiation, l'équation différentielle qui en résultera ne renfermera plus de constantes arbitraires; ainsi l'on ne trouvera qu'une valeur particulière dep qui n'aura point de constante arbitraire, et qui sera par conséquent inutile pour la recherebe de la valeur complète de u.
11. Il ne doit point au reste être étonnant qu'une solution particulière, qui renferme deux constantes arbitraires, soit suffisante pour en déduire
la solution complète; car en y regardant de plus près on voit que cette solution remplit presque en entier les conditions de l'équation différentielle, puisqu'on ne peut faire évanouir les deux constantes arbitraires sans tomber dans une équation qui renferme à la fois. les différences partielles j- et-T-; en effet, comme il y a deux quantités à éliminer, il faudra avoir trois équations; ainsi il en faudra encore deux outre la proposée, et ces deux ne peuvent venir que de deux différentiations différentes, l'une en faisant varier x et l'autre en faisant varier/.
On peut prouver.de la même manière que, si l'on a une fonction u dé trois variables x, y, z, laquelle dépende d'une équation différentielle du
, ' du du du , .^ ,
premier ordre entre u, x, y, z, et -j-, ^-> -y-, et nu on ait une valeur r J dx dy dz '
particulière de u, laquelle renferme trois constantes arbitraires a, jS, y, cette valeur remplira presque en entier les conditions du Problème; car on ne pourra éliminer les trois constantes qu'au moyen de trois différentiations, l'une relative à x, l'autre à y et la troisième à z. Et ainsi de suite.
12. En général, soit u une fonction de plusieurs variables x, y, s,..., et soit donnée une équation entre
du du du
J dx dy dz
par laquelle il faille déterminer la valeur de u. Supposons que l'on ait une valeur particulière de u, laquelle renferme les constantes arbitraires a, j3, y,... dont le nombre soit égal à celui des variables x, y, s,...; qu'on en tire la valeur d'une de ces constantes comme a, en sorte que l'on ait
Vêtant une fonction de u, x, y, z,... et de |3, y,...; qu'on différence cette équation, et supposant
d V = M du -I- Pdx -h Qdy -+- l\dz + . . . ,
Pdx Qdr Rdz M M Al
du P du Q du
dx~~W ~dy~~~W dz ~
A DIFFÉRENCES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE. 573 on aura, en divisant par M, l'équation
en sorte que
et ces valeurs seront telles, qu'elles satisferont par l'hypothèse à l'équation donnée. Maintenant, comme la solution du Problème dépend uniquement de ce que l'équation précédente devient intégrahle étant multipliée par le facteur M, c'est-à-dire de ce que
Mdu + Vdx -h Qdy + Rdz + . . .
est une différentielle complète de u, x, y, :■,..., il est clair que la solution aura lieu de même si les quantités /3, 7,..., au lieu d'être constantes, sont variables, pourvu que la même différentielle continue à être complète; or l'intégrale de cette différentielle, tant que /3, 7,... sont constantes, est V; en sorte qu'on a dans cette hypothèse
Mdu + Vdx -h Qdy + Rdz -h. . . — dY;
mais si l'on regarde /3 comme variable, alors on aura
Mdu-hVdx + Qdr-h R&+...+ Ç^ dÇ> — dY;
donc
Mdu + Pdx-h Qdr + Rdz -h...= dV Z- d£>;
J dp r
donc comme dY est par elle-même une différentielle complète, il faudr; dY a? (3
nu' lifm h mninc rrnp
dp
dY que -jp- d(l soit aussi une quantité intégrahle d'elle-même, ce qui ne
peut avoir lieu à moins que -r=r ne soit égal à une fonction quelconque de |3. Ainsi supposant
et tirant de cette équation la valeur de fi, on pourra la substituer à la place de |3, et l'on aura, au lieu de l'équation Y = oc, celle-ci
B étant égal à //(jSjrfjS, où il faut remarquer que les quantités y,...
peuvent entrer d'une manière quelconque en qualité de constantes dans la fonction /(j3), et par conséquent aussi dans la fonction B. Maintenant on pourra rendre de même variable la quantité y contenue dans V et B, en prenant
dy =f{y]'
ce qui détermine y; et substituant ensuite cette valeur de y, on aura l'équation
où C= I /("/) dy, et ainsi de suite.
Par ce moyen l'intégrale incomplète
V=« deviendra de la forme
et sera nécessairement complète, puisqu'elle contiendra autant de fonctions arbitraires qu'il y a de variables oc, y, z,... moins une (*).
13. Pour faire voir l'usage de cette méthode par un exemple trèsgénéral, supposons que X soit une fonction de -v- et x, que Y en soil
une de -r- et y, que Z en soit une de — et s, et ainsi de suite, et que dy ] dz 1
l'on ait une équation donnée entre X, Y, Z,..., d'où il faille tirer la va-
(*) L'analyse qui vient d'être développée conduit assurément à l'intégrale générale de l'équation proposée, mais cette intégrale ne contient pas, comme le dit ici par inadvertance l'illustre Auteur, autant de fonctions arbitraires moins une qu'il y a de variables indépendantes. Dans la formule obtenue par Lagrange, il n'y a en réalité qu'une seule fonction arbitraire, B -+- C -h. . . -+- «, laquelle dépend des quantités S, y, ... . Si l'on représente cette fonction par/( 6, 7, . . .), l'intégrale générale de l'équation proposée sera le résultat de l'élimination de p, 7,. . . entre l'équation
V=/(P,7,---) et les suivantes
rfV <tf rfV df dp dp dy dy
[Note de l'Éditeur.)
leur de u; comme le Problème consiste à faire en sorte que la quantité
du — p dx — q dy — rdz — ...
soit intégrable ou par elle-même ou étant multipliée par un l'acteur quelconque, en supposant
du du du
dx " dr dz
il est clair que la condition du Problème sera remplie si p est une fonction de x seul, q de y seul, r de z seul, etc.; or c'est ce qui aura lieu si l'on fait X, Y, Z,... égales à des quantités constantes; car alors l'équation donnée servira à déterminer une de ces constantes par toutes les autres, en sorte qu'il restera autant de constantes arbitraires /3, y,... qu'il y aura de variables oc, y, z,... moins une. De cette manière on aura
V = u — I p dx — I q dy — / rdz
pour l'équation qui détermine la valeur particulière de u; et, comme cette valeur de «contient les constantes arbitraires a, jS, y,..., on pourra compléter la solution par la méthode exposée ci-dessus.
14. Il est clair qu'on peut généraliser encore le cas précédent, en supposant que W soit une fonction quelconque de u, et que l'on ait X
éeal à une fonction de W -r- et ce, Y une fonction de W-y- et y, Z une
s dx dy J
fonction de W -r- et z, ... ; car en faisant X, Y, . . . constantes, on aura p égal à une fonction de x seul divisée par W, q égal à une fonction de y seul divisée de même par W,..., de sorte que la quantité
du — p dx — q dy — rdz — ...
étant multipliée par W deviendra intégrable.
