III
dcp ~dt
dt
dt
d<\> dt
dt
dt
dcp ~dt
¥ ddi
dcp ~di
rd<b
d^ dt
dt
dcp dt
dt
Ces équations étant élevées chacune au carré, et ensuite ajoutées ensemble, donnent d'abord (en vertu des formules du n° 2, et à cause de «'=1, a"=i, è = o) celle-ci, où les quantités x', y', z', x",... ne se trouvent plus,
'Fdcp dt
dt
-Nï
dt
dt
-Fw
dt
De plus, si l'on ajoute ensemble les carrés des valeurs de cfe, rf^, dz trouvées ci-dessus, on aura, en ayant égard aux mêmes formules du n° 2,
dx2 -\- dy2 -h dzi=(p dcp + q d^y-h (rdty -+- p dm)2 + ' q dm — rdcp)2 — [p2-h r2)dcp2-\- {q2-i~ r:)d<b2-i- (p2 + q2)dm' -4- 2/>^f dcp dà -t- iprddpdm — iqrdcp dm;
donc multipliant par âm, intégrant par rapport à la caractéristique T) et faisant les substitutions ci-dessus, on aura, en vertu de l'équation (4), celle-ci
, ,, dcsr ddi- ,. dm2 ,, dcp d'il dch dm „ dco dm ,
q M -y- +L-=i- +N -= h aH -p- -=" -f- 2G-ji -i aF -~ -j- = D2.
y . dt2 dt2 dP dt dt dt dt dt dt
Ainsi voilà déjà deux équations (8) et (9) qui ne renferment que les
trois inconnues -Si -Si -£■> et par lesquelles on pourra par conséquent déterminer deux quelconques d'entre elles par la troisième. Faisons pour plus de simplicité
,(/o d<li XT dm X = — F -r- + G -r- -+- N -r- , dl dt dt
iJ-= M dt + HdF ~* -sr'
v = H tf7+LrfF+G^r. .
et les deux équations dont nous venons de parler pourront se mettre sous cette forme assez simple
/ X2 + p-2 + v2 = A2 -h R2 + C2, 11 1 - dm dm d<h ^,
i i . , . . , , , , dm d<ïi dm
Tirant donc des trois équations ci-dessus les valeurs de -r-i -jr* -gj
en X, p, v, et les substituant dans la seconde des deux équations (n), on aura deux équations en X, p, v à l'aide desquelles on pourra déterminer, par exemple, les valeurs de p. et v en X; de sorte qu'il ne restera plus qu'à connaître X.
Pour cela je reprends les trois équations (5), (6), (7), lesquelles par l'introduction des quantités X, p., v se réduisent à cette forme
[ ÇX + z'jj. — z"v = A, 7) X -1- y' 11. — y "v = B, £ X -4- x' [j. — x" v = C ;
et ajoutant ensemble ces équations après les avoir multipliées, la première par 'Ç, la seconde par -t), et la troisième par S, j'ai par les formules
du n° 2
X = AÇ + B-/i +CH.
J'aurai de même en multipliant ces équations respectivement par d'Ç, dri, de,, et les ajoutant ensuite ensemble, en ayant égard aux formules
du n° 4,
— fi dû -+- v dm — A tfÇ + Brfn + Cc?H.
Mais l'équation précédente donne par la différentiation
dl — AdZ-hBdn +CcZ£;
donc on aura
dl= — ij.cIi\i -+- vdo,
et par conséquent
(l3) -f-. -r- = dt.
d'il do
r dt dt
Ainsi, comme -^~ et -^ sont donnés en X, (u, v, et que a, v sont déjà
connus en X, cette équation ne contiendra que les deux variables / et X déjà séparées, et donnera par conséquent par l'intégration la valeur de t en X, et vice versa celle de X en t; ainsi l'on connaîtra les quantités X, a, v par des fonctions du temps t.
Pour pouvoir connaître maintenant le mouvement de chaque point du corps, nommons, comme ci-dessus, x, y, z les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position instantanée d'un point quelconque donné du corps, dans l'espace, et soient de même/), q, r les coordonnées rectangles qui déterminent la position du même point dans le corps même; on aura donc comme ci-devant
x = \r -t- x' q -+- x" p, y = yr-hy'q+y"p, z =£/■-+- z'q + z" p,
d'où l'on tire d'abord l'équation
(4) xi + y2-hz1 — p2 + q'-hr\
Ensuite, faisant, pour abréger,
do dm , ,
d^ ' dt
, dxs dAi Q^qr-^-pq-fr-ip' + r*
do '. dt
n dw e?iL
, dvs
>~dT
on aura aussi
ydx — xdy = (ÇR -+- z' Q -f- z"P) dt,
xdz — zdx = (yjR +y'Q -f y"P) dt, zdy — ydz =(£R-t-a:'Q -+-x"P)dt:
Ces trois équations, ainsi que les trois précédentes, étant multipliées respectivement par les équations (12), et les produits étant ajoutés ensemble, il viendra, en vertu des formules du n° 2, ces deux équations-ci
(i5) Az + R/+ Cx = ;-/-(- qy. — pv,
(16) k{ydx— xdy) + B(xdz — zdx) -h C{zdy—ydz) = (RI 4- Q// — Pv)dt,
lesquelles, étant combinées avec l'équation (i4) ci-dessus, serviront à déterminer les trois inconnues x, y, z.
Je remarque d'abord que si les deux constantes arbitraires B et C étaient nulles, la détermination dont il s'agit n'aurait aucune difficulté; car faisant, pour abréger,
9 = ri -f- qy. — pv, e = RX-hQF.-Py,
(ô et 0 étant des fonctions connues de t, et n une constante qui exprime la distance du point donné du corps au centre autour duquel il se meut), l'équation (i5) donnera d'abord
et l'équation (i/j) donnera
Ensuite l'équation (16) donnera
, , &dt
ydx — xdy = —— ■>
laquelle étant divisée par la précédente, on aura cette équation intégrable
ydx — xdy À © dt
Soit donc, pour abréger,
et l'on aura
d'où, à cause de
■^ — tangT,
on tire
x=^ cosT, j= r sinT.
Mais, pour ne pas borner notre solution au cas de B = o et C = o, je vais résoudre les trois équations (i4)> (J5) et fi6) dans toute leur généralité.
Je fais pour cela
et
d'où
A = /(/, B = kg, C = /r A ;
en sorte qu'on ait
et je prends six autres quantités y, g', h',f", g", h", entre lesquelles et les trois quantités/, g, h j'établis les mêmes rapports qu'entre les quantités ce, y, z, x', y', z', ce", y", z" du n° 2, en y supposant
a = a' = a"= i et b = b' = b" = o ;
j'aurai donc aussi entre ces mêmes quantités/, g, h,f, g', . . . des relations analogues à celles qu'on a trouvées dans le n° 7 entre ce, y, z, x , y',..., eh sorte que prenant à volonté les trois quantités/, g, /', on pourra par leur moyen déterminer les six autres.
Cela posé, je suppose encore
/ -+ gr+ hx = Z, f'z-+-g'y+ h'x = Y, f'z-h g"y + h"x = X;
j'aurai d'abord, en ajoutant ensemble les carrés de ces trois équations,
à cause des relations établies entre les quantités/, g, h,/', g', h',... (2); ainsi l'on aura par l'équation (i4)
Ensuite l'équation (i5) deviendra
kl = e.
Or si l'on cherche la valeur de YdX — XdY, on la trouvera égale à
(g'h" — h'g")(ydx — xdy) -+- (h'f" — f h")(xdz — zdx) + (/'§'"- g'f"){zdy-ydz);
mais, par les formules du n° 7, on aura
donc l'équation (16) deviendra
fr(YrfX — XdY) = Qdt.
Ainsi l'on a maintenant entre X, Y et Z les mêmes équations qu'on a eues ci-dessus entre x, y, z dans le cas de B - o et C = o, avec cette seule différence qu'il y a ici k à la place de A. On aura donc sur-le-champ
X=v r cosT, Y = r sinl, ^ — j.-
Ayant les valeurs de X, Y, Z, on tirera des formules précédentes celles de ce, y, z, et l'on aura (7) par les relations qui doivent avoir lieu entre
les coefficients/, g, h, f , g' , h' ,...
x = hZ + h'Y + h"X,
r = gZ + g'Y + g"X,
Il faut remarquer que la quantité/' demeure indéterminée; de sorte qu'on pourra lui donner telle valeur qu'on voudra, sans déroger en rien à la généralité de la solution.
9. Remarque I. — Si l'on tire des trois équations (10) du numéro précédent les valeurs de -S-, -£> -^, on aura, en faisant, pour abréger,
A = LMN - 2FGH - F2L - G2M - H2N, ces expressions
dv ' (GH + FL)/ + (LN — G2)f/--(FG + HN)v
dt ~ A
d<i/ -(FH + GM)X— (FG + HN)p. + (MN-F2)v
~dJ~~ A
dm __ (LM — H')A + (GH + FL)f/--(FH + GM)v dt ~ A
qui, étant substituées dans la seconde des équations ( 1 1), la réduiront à cette forme
